Wykaż, że nierówność jest kwadratem liczby naturalnej. Lolek: Hej, mam problem z zadankiem i nie wiem nawet jak się za nie zabrać ;c Oto one : Wykaż, że jeżeli n > 1 jest liczbą naturalną, to liczba (n⁶−n⁴−n²+ 1)(n²+ 1) jest kwadratem liczby naturalnej.

Pytający: Jeśli jest kwadratem liczby naturalnej, to znaczy, że czynnik (n²+1) występuje parzystą liczbę razy, czyli (n⁶−n⁴−n²+1) musi się dzielić przez (n²+1). Zatem w pierwszej kolejności wykonaj to dzielenie:

	n6−n4−n2+1
(n6−n4−n2+1)(n2+1)=		(n2+1)2=
	n2+1

=(n⁴−2n²+1)(n²+1)² Jak łatwo zauważyć (chociażby ze wzorów Viete'a: 1403) (n⁴−2n²+1)=(n²−1)². Ostatecznie: (n⁶−n⁴−n²+1)(n²+1)=(n²−1)²(n²+1)²=((n²−1)(n²+1))²=(n⁴−1)²

PW: n⁶−n⁴=n⁴(n²−1) −n²+1=−(n²−1) ============= (n²−1)(n⁴−1)=(n²−1)(n²−1)(n²+1)=(n²−1)²(n²+1) i już widać.