Dowodzenie stefan: Wykaż, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b, takich, że a² + b² = 4, zachodzi nierówność

	ab
		≤ √2 − 1
	a+b+2

jc: https://matematykaszkolna.pl/forum/372337.html

stefan: Dzięki

PW: Trochę inny sposób, wykorzystujący trygonometrię. Z założenia

	a		b
(1) (		)2+(		)2=1,
	2		2

a więc na mocy twierdzenia odwrotnego do "jedynki trygonometrycznej" istnieje kąt ostry α, dla którego

	a		b
		=sinα i		=cosα.
	2		2

Bez straty ogólności możemy założyć, że

	√2		π
(2) sinα≤		, czyli α≤		,
	2		4

	√2
gdyż w równości (1) jeden ze składników musi być mniejszy lub równy (		)2.
	2

Lewa strona badanej nierówności jest równa

	(2sinα)(2cosα)		2sinαcosα
		=		=
	2sinα+2cosα+2		sinα+cosα+1

	(sinα+cosα)2−1		(sinα+cosα+1)(sinα+cosα−1)
=		=		=
	sinα+cosα+1		sinα+cosα+1

	π
=sinα+cosα−1=√2sin(α+		)−1≤√2.1−1,
	4

co kończy dowód.

	π
Ostatnia nierówność wynika z założenia (2) i monotoniczności funkcji sinus na [0,		]:
	2

	π		π		π		π
sin(α+		)≤sin(		+		)=sin		=1.
	4		4		4		2