Oblicz ile jest różnych liczb dwudziestocyfrowych, których iloczyn cyfr jest rów answer: Oblicz ile jest różnych liczb dwudziestocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 32. Wyszedł mi wynik 42104 (rozbiłem na 5 przypadków itd.), ale nie mam odpowiedzi, więc nie wiem czy wynik jest poprawny. Byłbym wdzięczny, jeśli ktoś by to przeliczył i napisał ile mu wyszło, bo nie mam pojęcia czy dobrze rozumiem jak to rozwiązać

Franklin p_p: https://matematykaszkolna.pl/forum/319607.html

Franklin p_p: Mi wyszło 1990820

answer: Jak powinno się rozpisać np. przypadek 2*2*2*4?

	20!
Ja rozpisałem		*17 (ze wzoru dwumianowego)
	(20−3)!*3!

iteRacj@: przypadek 2*2*2*4 permutacja z powtórzeniami (powtarzają się trzy dwójki i szesnaście jedynek)

20!
3!*16!

Franklin p_p:

4 1		20 4
	*

iteRacj@: wg mnie przypadek 2*2*2*4 ze wzoru na kombinacje

20 1
	− wybór miejsca dla 4

19 3
	− wybór miejsc dla trzech 2

16 16
	− miejsca dla 1

20 1		19 3		16 16
	*		*

answer: Czyli wyniki wychodzą w tym przypadku chyba takie same

iteRacj@: oba sposoby obliczeń dają ten sam wynik 19380

iteRacj@: a wynik Franklina z 13:21 wynosi 4845

answer: Też mi w nim wychodzi 19380

answer: Nie wiem skąd takie rozbieżności w ostatecznym wyniku. W przypadkach 2*2*8 i 4*4*2 wychodzi mi 3420,a 8*4 wychodzi mi 320

answer:

	20 2		18 1
Przypadek 2*2*8 i 4*4*2 zrobiłem z		*		, a 4*8 : 20*19

iteRacj@: przypadek 2*2*8 ze wzoru na kombinacje

20 2
	− wybór miejsc dla dwóch dwójek

18 1
	− wybór miejsca dla ósemki

na pozostałych miejscach jedynki

20 2		18 1
	*

przypadek 4*4*2 ze wzoru na kombinacje

20 2
	− wybór miejsc dla dwóch czwórek

18 1
	− wybór miejsca dla dwójki

na pozostałych miejscach jedynki

20 2		18 1
	*

przypadek 4*8 ze wzoru na kombinacje

20 1
	− wybór miejsca dla ósemki

19 1
	− wybór miejsca dla czwórki

na pozostałych miejscach jedynki

20 1		19 1
	*		− taki wynik jak u Mili

iteRacj@: czyli wyniki mamy takie same

Franklin p_p: Moją metodą także wychodzi 19380

20*19*18*17*4
	=19380
24

answer: Franklin, a reszte też zrobiłeś tak jak iteRacj@? Bo wynik końcowy się różni od tego który podałeś na początku. No chyba, że się w obliczeniach pomyliłem

Franklin p_p: No właśnie chyba coś źle poprzyciskałem w kalkulator Zaraz podam końcowy jeszcze raz

Franklin p_p: 1) 32=4*8 2) 32=2*2*2*2*2 3) 32=2*2*8 4) 32=4*4*2 5) 32=4*2*2*2

	2 1		20 2
1)		*		=380

	5 5		20 5
2)		*		=15504

	3 1		20 3
3)		*		=3420

	3 1		20 3
4)		*		=3420

	4 1		20 4
5)		*		=19380

Suma: 42104

iteRacj@: @Frankllin 14:31 nie pomnożyłam przez 4, oczywiście ten sam wynik

answer: Okej, czyli tak samo wyszło, dzięki wielkie

Pytający: Można też tak policzyć:

5+20−1 20−1		20 1	(5−4)+20−1 20−1
	−			=42104

// jest to liczba rozwiązań całkowitych równania: ∑_k=1 ²⁰(x_i)=5, 0≤x_i≤3 https://www.wolframalpha.com/input/?i=binomial(5%2B20-1,20-1)-binomial(20,1)*binomial((5-4)%2B20-1,20-1) Mamy 20 jedynek i wybieramy z powtórzeniami 5 pozycji, które mnożymy przez 2 (kombinacje z powtórzeniami). Trzeba jeszcze uwzględnić, że każda pozycja może być pomnożona maksymalnie 3 razy, bo 2⁴=16 nie jest cyfrą.

5+20−1 20−1
	// liczba rozwiązań całkowitych równania: ∑k=1 20(xi)=5, xi≥0

20 1
	// wybór, na której pozycji mamy "co najmniej 4 dwójki"

(5−4)+20−1 20−1
	// liczba rozwiązań całkowitych równania: ∑k=1 20(xi)=5−4, xi≥0

iteRacj@: @Pytający tym sposobem będziemy liczyć już po maturze na razie na piechotę, powoli, przypadek po przypadku...

Pytający: Tak dla ciekawskich napomknąłem, Iteracjo. (sam niejednokrotnie poznawałem tu różne ciekawe metody, bo ktoś zwyczajnie o nich napomknął)