rowanie wykladnicze kasia123: Rozwiąż równanie: (3−2√2)^x + (3+2√2)^x = 6^x doszłam do postaci, że drugi wyraz zapisałam jako 1/3−2√2 Kombinuję jak mogę, ale mi nie wychodzi.. proszę o pomoc.

PW:

	(3−2√2)(3+2√2)		9−8		1
3−2√2=		=		=		,
	3+2√2		3+2√2		3+2√2

a więc po odpowiednim podstawieniu

1
	+tx=6x
tx

Eta: Po prawej jest 6^x ? czy tylko 6

kasia123: tak jak napisałam Eta

kasia123: Pw, potem bedzie znowu podstawienie za t? bo chyba wyjdzie z tego funkcja kwadratowa

kasia123: kurde ciagle przeszkadza mi ta 6...

kasia123: t^2x − 6t^x + 1 =0

kasia123: (6t) powinno byc w nawiasie

PW: Widzę możliwość rozwiązania przez zgadywanie (bez żadnych sztuczek, na pierwotnej wersji). Dla x=1 równanie zmienia się w zdanie prawdziwe, liczba 1 jest rozwiązaniem. Czy są jeszcze inne rozwiązania?

kasia123: W odp nie. Ale chciałabym poznać sposób, bez zgadywania.

kasia123: Mam jeszcze jedno rownanie: 8 (4^x + 4^−x) − 54(2^x + 2^−x)+101=0 doszłam do postaci 8t⁴−54t³+101t²+54t+8=0, gdzie t=2^x ale to chyba jest źle...

kasia123: tam jest bląd znaku przy (−54t) powinno byc

kasia123: a nie, jednak wychodzi to drugie. także proszę o pomoc w pierwszym.

PW: Jeżeli nie chcesz zgadywać i pomyśleć, dlaczego nie ma innych rozwiązań, to znaczy że kochasz schematy myślowe i nie rozwiążesz tego zadania.

kasia123: To oświeć mnie proszę, dlaczego nie ma innych rozwiązań, zamiast mnie obrażać

kasia123: inaczej bedzie zostawał nam pierwiastek z 2?

kasia123: nie, głupotę napisałąm.

kasia123: Po lewej stronie byłoby coś takiego 2(3^p + 2√2^p) = 6^p ( a prwawa strone mozemy zapisac 6^p=(3*2)^p) a to nigdy nie bedzie rowne lewej? p to dowolona potega

kasia123: @PW proszę napisz mi skąd masz pewność że x=1 to jedyne rozwiązanie.

PW: A czy ja cię obrażam? To jest schemat myślowy: "Pewnie to będzie równanie kwadratowe", Nie chcesz, to nie muszę pomagać, po co tracę czas.

kasia123: Gdybym nie chciała, to bym tutaj nie pisała. To nie jest jakaś praca domowa. Znalazłam to równanie w książce i jestem ciekawa.

kasia123: Dlatego bardzo Cię proszę żebyś podzielił się ze mną swoją wiedzą.

Mila: 8 (4^x + 4^−x) − 54*(2^x + 2^−x)+101=0 8*(2^2x+2^−2x)−54*(2^x+2^−x)+101=0 2^x=t, t>0,

	1		1
8*(t2+		)−54(t+		)+101=0⇔
	t2		t

	1		1
8*[(t+		)2−2]−54(t+		)+101=0
	t		t

	1
t+		=v, v>0
	t

8*v²−16−54v+101=0 8v²−54v+85=0 Δ=225

	5		17
v=		lub v=
	2		4

	1		5		1		17
t+		=		/ *2t lub t+		=		/ *4t
	t		2		t		4

2t²−5t+2=0 lub 4t²−17t+4=0

	1		1
t=		lub t=2 lub t=		lub t=4⇔
	2		4

	1		1
2x=		lub 2x=2 lub 2x=		lub 2x=4
	2		4

x∊{−1,−2,1,2} ===============

kasia123: Milu, a może masz jakieś wskazówki do pierwszego?

Mila: Z jakiej to książki, bo w moich zbiorach to jest tak, jak pisze Eta. Sprawdź zapis i odpowiedź do zadania.

PW: Basia wiedziałaby jak to pokazać 371046.

Basia: cześć PW; to równanie ? (3−2√2)^x + (3+2√2)^x = 6^x to chyba można bez cudów rozwiązać

PW: Nie wiem, postawiłem pytanie i nikt nie chce rozwiązać, tylko zmieniają treść zadania

Basia:

	1
(		)x + (3+2√2)x = 6x
	3+2√2

1 + [(3+2√2)x]2
	= 6x
(3+2√2)x

1 + [(3+2√2)²]^x = [6(3+2√2)]^x (17+12√2)^x + 1 = (18+12√2)^x wykresy funkcji wykładniczych o różnych podstawach przecinają się tylko w punkcie (0,1) ponieważ pierwszą przesuwam o 1 w górę wykresy przetną się tylko i tylko w punkcie (1; 18+12√2) i to by było na tyle x=1 ale całkiem możliwe, że to jest równanie (3−2√2)^x + (3+2√2)^x = 6 wtedy klasyka

kasia123: Dziękuję wszystkim za pomoc! To taka zielona książka, podstawy matematyki z elementami matematyki wyższej (wydawnictwo politechniki w Gdańsku)