Prawdo Nick: Kolejne zadanie z typu trudniejszych z którym mam problem. Gospodyni rozdzieliła 24 pączki pomiędzy 6 gości. Jaka jest szansa, że: a) Ktoś nie dostanie pączka, b) Każdy dostanie co najmniej 2 pączki. Pomoglby ktoś z tym?

Blee:

	5
a) 6*(		)24
	6

	5		1		5
b) 1 − 6*(		)24 − 6*(		)1(		)23
	6		6		6

Krzysiek60: Mozna pogadac z gosposia

Blee: chociaż do końcówki (b) nie jestem przekonany (raczej jest ona źle)

Nick: A mógłbyś wytłumaczyć podpunkt a? Dlaczego tak to wygląda?

PW: Nick, to pewnie idzie o liczbę rozwiązań równania x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24 w liczbach naturalnych spełniających określone warunki.

Blee: (a) wybieramy jedna z 6 osob (stad 6*) i prawdopodbiebstwo ze nie dostanie danego paczka ( stad 5/6) 24 razy (stad potega)

Mila: a) Pączki są nierozróżnialne (?) x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24

24+6−1 6−1		29 5
	=		=118 755 wszystkich możliwości

x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24−6 x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=18 każdy otrzymał przynajmniej jednego pączka

18+6−1 6−1		23 5
	=		=33649

118 755−33649=85106 ktoś nie otrzymał pączka

85106
	≈0.72
118755

Mila: b) x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24−2*6 x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=12 każdy otrzymał co najmniej dwa pączki

12+6−1 6−1		17 5
	=		=6 188

6188
	≈0.0521
118 755

I to wszystko wydaje mi się mało prawdopodobne, chyba , że komputer rozdziela jak w LOTTO.

Nick: Mila dlaczego tak zapisałaś w symbolu newtona. tj Dlaczego z tego równania x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24 powstała taka kombinacja

24+6−1 6−1

mogłabyś wytłumaczyć?

PW: Nick, nie uczysz się matematyki dyskretnej?

Nick: uczę, ale dopiero co zacząłem więc jedyną rzecz jaką potrafię to dowód indukcyjny

PW: W takim razie będzie niebawem. Jeżeli jesteś ciekawy i masz czas, to tutaj 204660 pokazałem na przykładzie jak dojść do tego wzoru.

Mila: Zastosowałam kombinacje z powtórzeniami. Tak liczymy ( między innymi) liczbę rozwiązań podanego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych. Na matematyce R w LO, też to podają nauczyciele. Nie masz odpowiedzi do zadań? Nie wiem, czy o to chodzi. Można inaczej rozwiązać. To zadanie wielokrotnie było na listach do kolokwium, więc starsi studenci mają rozwiązane na ćwiczeniach. Postaraj się o odpowiedzi.

:(: To są kombinacje z powtórzeniami.

Nick: aaaa bo tu można zrozumieć inaczej, że nie przyporządkowujemy pączki dla gości, tylko pączki wybierają gości. jak jakiś pączek już wybierze gościa, to kolejny znów mooże go wybrać. dobrze myślę?

:(: tak

Nick: a dlaczego w podpunkcie a trzeba jeszcze odjąć 118 755−33649=85106? co to daje?

Nick: to chyba nie zdarzenie przeciwne prawda?

Mila: Przeciwne.

Nick: ja uczyłem się takiego wzoru P(A)=1−P(A') dlaczego tu jest jedynka, a w twoim rozwiązaniu odejmujemy od całej omegi?

Nick: ok już wiem, wielkie dzięki Mila za pomoc.

Mila: Lepiej tak, jak Ty zrobiłeś, mniej obliczeń . Jeśli będziesz miał od kolegów inne rozwiązanie, to wróć tutaj, ciekawa jestem

Pytający: Milu, (nie)rozróżnialność pączków nie ma wpływu na prawdopodobieństwo. Ma wpływ na moc omegi i na moc zbioru zdarzeń sprzyjających, ale samo prawdopodobieństwo tak czy siak powinno wyjść takie samo. Natomiast sposób, w jaki owa gospodyni rozdziela pączki już ma wpływ na prawdopodobieństwo: • jeśli bierze każdego pączka z osoba i daje go losowemu gościowi (wybór każdego gościa z takim samym prawdopodobieństwem), wtedy należy liczyć w sposób analogiczny do tego u Blee (oba podpunkty są źle, nie tylko b w podpunkcie a błąd nie jest wielki, ale jednak: https://www.wolframalpha.com/input/?i=6*(5%2F6)%5E24 https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D1..6+of+((-1)%5E(k%2B1)*binomial(6,k)*((6-k)%2F6)%5E24) ) • jeśli ma listę z wszystkimi możliwymi podziałami pączków między tych gości, unikalnymi ze względu na ilość pączków otrzymanych przez każdego z gości, i z takiej listy wybiera w jaki sposób rozdzieli pączki (każdą pozycję na liście wybiera z równym prawdopodobieństwem), wtedy należy liczyć tak jak Ty, Milu (rachunków nie sprawdzałem). Może łatwiej zacząć od prostszego przykładu: 2 pączki i 2 gości: A, B. Jakie są prawdopodobieństwa: P(A dostał 2 pączki), P(B dostał 2 pączki), P(A i B dostali po 1 pączku)? W treści nie jest powiedziane, jak rozdzielane są te pączki, więc trudno o jedyną poprawną odpowiedź. https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Bertranda // może ten paradoks nie do końca mówi o tym samym co mamy tutaj, ale dobrze obrazuje, że sposób w jaki dokonujemy wyboru może mieć wpływ na prawdopodobieństwo Nick, to dwa różne wzory: P(A)=1−P(A') |A|=|Ω|−|A'| Jeden wynika z drugiego, bo (oczywiście |Ω|>0):

	|A|		|Ω|		|A'|
P(A)=1−P(A') ⇔		=		−		⇔ |A|=|Ω|−|A'|
	|Ω|		|Ω|		|Ω|

Nick: czyli nie można jednoznacznie określić jak to zadanie zrobić?

Pytający: Dla mnie bardziej intuicyjne jest podejście pierwsze (każdego pączka z równym prawdopodobieństwem może otrzymać każdy z gości), ale kto wie, co autor miał myśli...

Nick: a mógłby ktoś objaśnić podpunkt B sposobu Bleee? bo dla mnie to równanie nic nie mówi, a jak widać mam problemy z rachunkiem prawdopodobieństwa i chciałbym to zrozumieć

Mila: Dziękuję. Zobaczymy, jakie rozwiązanie Nick przyniesie z ćwiczeń.