granica ciągu PysznyKrzysztof: Znaleźć granicę ciągu:

	2n+√1		2n+√2		2n+√n
bn =		+		+ ... +
	n2+√1		n2+√2		n2+√n

probowalem zrobic to na twierdzenie o trzech ciągach ale źle dobralem te ciagi i wyszla mi granica rowna 2, co nie jest prawda bo sprawdzilem podstawiajac jakas liczbe z n.

Adamm:

	n2−2n		n2−2n
=(1−		)+...+(1−		)=
	n2+√1		n2+√n

	1		1
=n−(n2−2n)(		+...+		)<n−(n2−2n)n→−∞
	n2+√1		n2+√n

Adamm: czekaj, coś nie tak

kochanus_niepospolitus: ale granica wyjdzie 2 tych ułamków jest 'n'

2n+√n		2n+√1
	*n ≥ bn ≥		*n
n2 + √1		n2 + √n

Adamm:

n		1		1		n
	<		+...+		<
n2+√n		n2+√1		n2+√n		n2+1

2n2+n		2n2+n√n
	≤bn≤
n2+1		n2+√n

b_n→2

kochanus_niepospolitus: Adamm ... trochę niebezpiecznie szacujesz w swoim szacowaniu przyjąłeś, że:

2n2 + 1		2n2 + k
	≤		dla j>1 ... co NIE JEST PRAWDĄ
n2 + 1		n2 + k

kochanus_niepospolitus: dla k>1 miało być

kochanus_niepospolitus: przy założeniu a,b>0 i a<b sprawdzamy:

2+a		2+b
	<
1+a		1+b

⇔ 2 + a + 2b + ab < 2 + 2a + b + ab ⇔ b < a sprzeczność

PysznyKrzysztof: ale podstawcie sobie n=3 i sie nie sprawdza

zombi: Ale co się nie sprawdza?

btw: 367630

kochanus_niepospolitus: nie masz podstawiać konkretnego 'n' ... tutaj liczysz granicę gdy to n −> ∞ Oczywiście jest że dla małych 'n' (jak na przykład) n=3 wartość może się diametralnie różnić od granicy = 2 ale jak weźmiesz n=10 to już wartość będzie bliższa granicy, a jak n=100 to jeszcze bliższa a jak weźmiesz n = 10^500000000 to już będzie niemalże dokładnie równa granicy = 2

Adamm: kochanus, ja tak wcale nie szacowałem...

kochanus_niepospolitus: Adamm ... spójrz na drugą linijkę u Ciebie ... masz oszacowanie ciągu b_n w taki sposób że 'pierwszy' (z √1 = 1) ułamek przyjąłeś za wyrażenie najmniejsze i zastąpiłeś nim wszystkie inne i przyjąłeś jako szacowanie z dołu analogicznie ostatni ułamek (z √n) potraktowałeś jako największy ułamek i posłużył Ci do szacowania z góry.

Adamm: nie szacowałem tak kropka

PysznyKrzysztof: dobra juz rozumiem, czyli faktycznie granica wynosi 2.