baza jądra przekształcenia Kamil: Jak wyznaczyć bazę jądra przekształcenia liniowego: np na tym przykładzie: φ:R[x]₃→R² danego wzorem φ(ax³+bx²+cx+d)=(3a+5b+3c+2d,2a+3b+2c+2d)

Pytający: Baza {x³,x²,x,1}. 1 0 0 0 | 3 2 0 1 0 0 | 5 3 0 0 1 0 | 3 2 0 0 0 1 | 2 2 w₁−w₃ w₃−w₄ w₂−2w₃ w₂−(3/2)w₄ 1 0 −1 0 | 0 0 0 1 −2 1/2 | 0 0 0 0 1 −1 | 1 0 0 0 0 1 | 2 2 Ker(φ)=lin{(1,0,−1,0),(0,1,−2,1/2)} Metodę opisywałem tu: 366381

Kamil: a ten sposób mógłbym? z definicji: |3 5 3 2| |2 3 2 2| w₁−w₂ w₂−2w₁ a b c d |1 2 1 0| |0 −1 1 2| a=−2b−c b=c+2d a=−3c−4d (−3c−4d,c+2d,c,d)=c(−3,1,1,0)+d(−4,2,0,1) Ker(φ)=lin{(−3,1,1,0),(−4,2,0,1)} czy to zły sposób? bo sądząc po wynikach coś źle zrobiłem

Pytający: Coś źle zrobiłeś, ale sposób dobry. Błąd rachunkowy: a b c d |1 2 1 0| |0 −1 0 2| Ker(φ)=lin{(−1,0,1,0),(−4,2,0,1)}

Kamil: a jeszcze takie pytanko, jak bazę obrazu wyznaczyć?

Pytający: Pierwszą przytoczoną metodą załatwiasz od razu 2w1, baza obrazu to (1,0), (2,2), czyli obrazem jest ℛ².

Kamil: a tę bazę Ker(φ)=lin{(−1,0,1,0),(−4,2,0,1)} da zapisać się w postaci wielomianowej? bo u nas to jest wymagane na zajęciach. będzie to tak wyglądało? Ker(φ)=lin{(−x³+x),(−4x³+2x²+1)}

Pytający: Nawet powinno się zapisać jako wielomiany, zapis Ker(φ)=lin{(−1,0,1,0),(−4,2,0,1)} jest zły, mój błąd. Przecież wektory w tej przestrzeni (przekształcanej) należą do R[x]₃ (czyli to wielomiany stopnia≤3), a tu zapisałem współczynniki tych wielomianów jako wektory z ℛ⁴. Twój zapis jest dobry, acz zapis Ker(φ)=lin{−x³+x,−4x³+2x²+1} też powinien być ok.