Przekształcenia liniowe ktoś: Znajdź Ker F (jądro?), Im F (obraz), rank F (rząd) oraz zerowość dla podanego przekształcenia liniowego F: U→V W oryginale (Find Ker F, Im F, rank F and nullity F for the following linear mappings F:U→V) U=V=R , F(x,y,z)=(x+y,x+y,x+2y−z)

ktoś: Czy ker F rozwiązuje poprzez układ równań ( z definicji ker F = {(x,y,z)∊R³: F(x) = 0} jeśli się nie mylę) x + y = 0 x + y = 0 x+2y−z = 0 ?

Pytający: Śmiało możesz tak rozwiązywać. rank(F)=dim(Im(F)) // wymiar obrazu F null(F)=dim(Ker(F)) // wymiar jądra F https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map#Kernel,_image_and_the_rank%E2%80%93nullity_theorem I zamiast U=V=R miało być chyba U=V=ℛ³? Całość można rozwiązać tak: rysujesz macierz [A|B], gdzie A to macierz, której wierszami (oznaczmy te wiersze A_i) są wektory należące do bazy U, natomiast i−tymi wierszami macierzy B są wektory F(A_i). Jako że U=ℛ³, sprowadza się to do macierzy jednostkowej po lewej i transponowanej macierzy przekształcenia F po prawej: 1 0 0 | 1 1 1 0 1 0 | 1 1 2 0 0 1 | 0 0 −1 Teraz wystarczy operacjami elementarnymi wyzerować jak najwięcej prawych części wierszy. I tak kolejno: w₁+w₃ w₂+2w₃ w₂−w₁ Otrzymujemy: 1 0 1 | 1 1 0 −1 1 1 | 0 0 0 0 0 1 | 0 0 −1 Czyli: Ker(F)=span((−1,1,1)), dim(Ker(F))=1 Im(F)=span((1,1,0),(0,0,−1)), dim(Im(F))=2

ktoś: Dzięki wielkie. Mógłbyś jeśli potrafisz jeszcze napisać definicję ImF tak, aby nawet kasztan zrozumiał? Bo nie bardzo rozumiem o co w samym obrazie chodzi. Z definicji wiem, że to jest: F = { F(x): (x,y,z)∊R³}, ale nie mówi mi ona dużo. I czy metodę "Całość można rozwiązać tak: rysujesz macierz [A|B], gdzie A to macierz, której wierszami (oznaczmy te wiersze Ai) są wektory należące do bazy U, natomiast i−tymi wierszami macierzy B są wektory F(Ai)." Można w jakiś prosty sposób wytłumaczyć? Czy po prostu to jest taka formułka?

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Obraz_i_przeciwobraz

Adamm: obraz = zbiór wszystkich wartości jakie te funkcja przyjmuje

Pytający: Skoro działa, to musi dać się wytłumaczyć. Po lewej masz wektory z bazy U, więc możesz za ich pomocą przedstawić jakikolwiek wektor z U. Są one oczywiście liniowo niezależne (bo to baza), więc jakimikolwiek działaniami elementarnymi (na wierszach) ich nie potraktujesz, wciąż będą tworzyć bazę. Po prawej masz te wektory przekształcone przekształceniem F, dlatego przestrzeń generowana przez te wektory po prawej jest obrazem F. Przekształcenie jest oczywiście liniowe, więc po tych działaniach elementarnych na wierszach wciąż po prawej stronie masz wektory będące przekształceniami wektorów z lewej (przez przekształcenie F). Jak już wyzerujesz któryś wiersz z prawej strony to znaczy, że F(wektor z lewej)= wektor zerowy. Znaczy się ten wektor z lewej należy do jądra. Jako że wektory z lewej ciągle tworzą bazę, jądro jest generowane przez te wektory z lewej, które "przechodzą" na wektor zerowy po prawej. Obraz oczywiście jest generowany przez niezerowe wektory z prawej. W zasadzie już na początku możesz napisać obraz jako: Im(F)=span((1,1,1),(1, 1, 2),(0,0,−1)) i jest to w pełni poprawne. Wymiar obrazu oczywiście nie jest równy 3, bo te 3 podane wektory nie są liniowo niezależne. Wektory liniowo zależne eliminujesz właśnie tymi operacjami elementarnymi. Chyba dosyć łopatologicznie i rozwlekle, może pomoże.

Pytający: A jeszcze łopatologicznie co to obraz przekształcenia F:U→V? Zbiór wszystkich wektorów z V takich, że F(jakiś wektor z U)=ten wektor. Im(F)={v∊V: F(u)=v ⋀ u∊U}

ktoś: "Chyba dosyć łopatologicznie i rozwlekle, może pomoże." Pomogło Mam 2 pytania −>Czyli po lewej stronie nie we wszystkich przypadkach będzie macierz jednostkowa, ale po prostu baza? −>Czemu z prawej mamy macierz transponowaną?

Pytający: Tak, po prostu baza, bo rozpina całą przestrzeń U. Przez macierz przekształcenia mnoży się z lewej strony, a wektory wtedy są kolumnowe: https://duch.mimuw.edu.pl/~m_korch/pl/8-matrix-of-a-linear-map/ Tu zapisujemy wektory wierszowo, więc siłą rzeczy, gdy U=ℛⁿ i po lewej mamy macierz jednostkową, po prawej będziemy mieli transponowaną macierz przekształcenia F. Jeśli macierz zapisalibyśmy góra−dół (nie lewo−prawo), to wtedy na dole byłaby nietransponowana macierz przekształcenia F (i wtedy oczywiście robimy przekształcenia na kolumnach, wektory generujące obraz odczytujemy z dolnej części, wektory generujące jądro odczytujemy z górnej części (gdzie dolna wyzerowana)).

ktoś: Powiem szczerze, że dopiero przed chwilą załapałem ten sposób