pochodne Bartek: Obliczenie dy/dx i d²y/dx² dla funkcji y=y(x) spełniające równanie e^yy²+lny+3xy = 0 Tutaj liczę normalnie pochodne czy pojawia się tu jakiś element magiczny? Mógłby być przypadek że np e^yy²+lny+3xy = coś innego niż 0? Jeżeli tak, to co w takim przypadku? przerzucam na lewą stronę by równanie równało się 0? i chce się upewnić, czym jest dy/dx? bo d^y/dx² to pochodna drugiego rzędu funkcji y po x? pozdrawiam

Adam: dy/dx − pochodna z y po dx O ile nie musisz sprawdzać rzeczy typu, czy funkcja uwikłana istnieje etc., To normalnie obustronnie liczysz pochodną

Adam: po x *

Bartek: pochodna z y po x, nie wiem czy dobrze rozumiem, z tego równania wyjdzie: e^y * y² + e^y *2y + 1/y + 3x nie do końca rozumiem, bo nigdy nie usłyszałem np "pochodna z y po x", chce się upewnić czy dobrze rozumiem.

Adam: Źle polczyłeś Np. (y²)'=2y*y' To jest pochodna funkcji złożonej

Adam: po prostu liczysz te z y jak po y, ale dodajesz y' na koniec "po" oznacza względem jakiej zmiennej różniczkujemy

Adam: No może ni do końca jasno powiedziałem Przykład (xy²)'=(x)'y²+x(y²)' Żebyś nie dodawał tutaj y' pod koniec

Bartek: hmm, policzmy pochodne: e^yy² = f'(x)g(x) + f(x)g'x = (e^y)' * y² + e^y * (y²)' = e^y * (y)' * y² + e^y * 2y * (y)' = e^y * 1 * y² + e^y * 2y * 1 = e^yy² + 2e^yy lny = 1/y * (y)' = 1/y * 1 = 1/y 3xy = 3x*(y)' = 3x * 1 = 3x "... ale dodajesz y' na koniec", więc przedstawione obliczenia powinny być chyba inne. Poproszę o wytłumaczenie jak to powinno wyglądać

Adam: (y)'=y' to jest pochodna po x a nie po y, dlatego jest różna od 1 gdybyśmy liczyli pochodną po y, to byłoby 1

Adam: zresztą, y' to to co masz wyznaczyć gdyby było tak prosto że y'=1 to nie trzeba byłoby nad tym pracować

Adam: przykład y=x² (x)'=1 ale (y)'=2x

Adam: teraz chyba również widzisz że zapis (...)' jest dosyć mylący

Bartek: tak, jest mylący, racja. Ale chyba nadal nie wiem dlaczego źle liczę. "to jest pochodna po x a nie po y, dlatego jest różna od 1 gdybyśmy liczyli pochodną po y, to byłoby 1" Czyli gdy liczę dy/dx to e^yy² = e^y*y' + 2y*y'? i tak zostawiam?

Adam:

d(eyy2)		dy		dy
	=ey*		+2y*
dx		dx		dx

może tak będzie ci łatwiej

Bartek: a przepraszam, źle napisałem, chodziło mi: e^y*y'*y²+e²*2y*y' // i to koniec?

Adam: tak, ja też nie zauważyłem koniec liczenia tej pochodnej

	dy		dy
dalej wyznaczasz		po jednej stronie równania, to co bez		po drugiej
	dx		dx

dzielisz obustronnie, i dostajesz pochodną, uzależnioną od y oraz x

Adam: czy miałeś już pochodne cząstkowe?

Adam: przykład x²y+e^ysin(y)+y³−2=0 coś takiego liczymy pochodną (x²y)'+(e^ysin(y))'+(y³−2)'=0 2xy+x²y'+e^y*sin(y)*y'+e^y*cos(y)*y'+3y²*y'=0 y'(x²+e^ysiny+e^ycosy+3y²)=2xy

	−2xy
y'=
	x2+eysiny+eycosy+3y2

pytałem się czy miałeś pochodne cząstkowe bo to można zrobić też tak bierzemy wszystko jako jedną funkcję 2 zmiennych F(x, y)=x²y+e^ysin(y)+y³−2 F_x=2xy F_y=x²+e^ysiny+e^ycosy+3y²

	−Fx
y'=		, i tak jest zawsze
	Fy

Bartek: a ja sie głowie a chyba już wiem, to to jest po prostu pochodna funkcji uwikłanej? tak, miałem pochodne cząstkowe. Czyli, to jest identyko to co pisałem w innym wątku? https://matematykaszkolna.pl/forum/366199.html

Adam: no tak, dokładnie to samo

Bartek: jeju, dziękuje bardzo.. czyli w tym przypadku dy/dx to pochodna pierwszego rzędu funkcji uwikłanej a d²y/dx² to pochodna drugiego rzędu?

Adam: tak dⁿy/dxⁿ to pochodna n−tego rzędu

Bartek: dziękuje Adamie, bardzo mi pomagasz, życzę miłego dnia!

Adam: wzajemnie

Bartek: Dowiedziałem się że na kolokwium nie mogę korzystać z wzorów (mimo iż były na wykładzie). Przeczytałem cały wątek i prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze liczę. dy/dx i d²y/dx² dla funkcji y=y(x) spełniające równanie: a) (x+1)e^y + (4x²−5)y+2=0 xe^y + e^y + 4x²y − 5y + 2 = 0 / d/dx e^y + xe^yy' + e^yy' + 8xy + 4x²y' − 5y' = 0 y'(xe^y + e^y + 4x² − 5) = −(e^y + 8xy)

	−(ey+ 8xy)
y' =
	(xey + ey +4x2 − 5)

	(−eyy' − 8y + 8xy')(xey + ey +4x2 − 5)
y'' =		−
	(xey + ey +4x2 − 5)2

(− ey − 8xy)(ey + xeyy' +eyy' +8x)
(xey + ey +4x2 − 5)2

b) e^xy² + lny + 3xy = 0 / d/dx

	1
exy2 + 2exy' +		y' + 3y + 3xy' = 0
	y

	1
y'(2ex +		+ 3x) = −(exy2 + 3y)
	y

	−(exy2 + 3y)
y' =
	1   2ex + + 3x   y

no i aby y'' uzyskać to różniczkuje y' jak w poprzednim przykładzie Pozdrawiam

Bartek: Odświeżam temat

Bartek: up

Adam: a) y'' − przy 8xy' ma być minus poza tym ok b) źle (e^xy²)'=e^xy²+2e^xyy' poza tym jest ok

Bartek: dziękuje, chyba już wiem gdzie błędy popełniłem. W takim razie policzyłem y'' z podpunktu b)

	−exy2−3y
y' =
	2exy+1y−3x

	(−exy2 − 2exyy' − 3y')(2exy + 1y − 3x)
y'' =		−
	(2exy + 1y − 3x)2

−1   (−exy2 − 3y)(2exy + 2exy' + − 3)   y2
(2exy + 1y − 3x)2

Tutaj dobrze?

Bartek:

	1		−y'
chociaż w sumie chyba pochodna z		powinna wyjść		, tak?
	y		y2

Adam: tak, powinno być −y'/y², poza tym nie widzę błędów

Jacek: .