Obliczyć całkę Ania: ∫(x+2)/(x²+2x+2)³ Też nie wiem co z tym zrobić

Mariusz: Podobnie jak tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/366271.html tylko masz więcej współczynników

	x+2
∫		=
	(x2+2x+2)3

a3x3+a2x2+a1x+a0		b1x+b0
	+∫		dx
(x2+2x+2)2		x2+2x+2

Mariusz: Można też skorzystać z wzoru redukcyjnego

	x+2		x+2
∫		dx=∫		dx
	(x2+2x+2)3		((x+1)2+1)3

x+1=t dx=dt

	t+1		t		1
∫		dt=∫		dt+∫		dt
	(t2+1)3		(t2+1)3		(t2+1)3

Pierwszą całkę możesz policzyć podstawieniem u=t²+1 a drugą wyprowadzając wzór redukcyjny Dla n>1

	1		1+t2−t2
∫		dt=∫		dt
	(t2+1)n		(t2+1)n

	1		1		t	−(2n−2)t
∫		dt=∫		+∫			dt
	(t2+1)n		(t2+1)n−1		2n−2	(t2+1)n

	1		1		1	t
∫		dt=∫		+
	(t2+1)n		(t2+1)n−1		2n−2	(t2+1)n−1

	1		1
−		∫		dt
	2n−2		t2+1)n−1

	1		1	t		2n−3		1
∫		dt=			+		∫		dt
	(t2+1)n		2n−2	(t2+1)n−1		2n−2		t2+1)n−1

Dla n=1

	1
∫		dt=arctg(t)+C
	(t2+1)n

Mariusz: Macierz odwrotna układu równań na współczynniki dla wydzielenia części wymiernej to

1
	M
8

gdzie M to macierz 12 4 −6 4 −3 3 4 28 −22 12 −9 9 −8 40 −28 16 −14 14 −24 32 −20 12 −10 8 8 0 0 0 0 0 −20 12 −6 4 −3 3 Teraz możesz dowolnie zmieniać współczynniki licznika (byle był stopnia mniejszego niż mianownik) i łatwo obliczysz całkę

Ania: Trochę nie rozumiem skąd się wzięły te wartości w macierzy

Mariusz: Po zróżniczkowaniu równości i porównaniu współczynników w licznikach dostaniemy układ równań liniowych Podałem macierz odwrotną do macierzy głównej tego układu aby układ ten było stosunkowo łatwo rozwiązać nawet gdybyś miała także całkę z innym licznikiem

	(x+2)
∫		dx=
	(x2+2x+2)3

a3x3+a2x2+a1x+a0		b1x+b0
	+∫		dx
(x2+2x+2)2		x2+2x+2

(x+2)
	=
(x2+2x+2)3

3a3x2+2a2x+a1
	−
(x2+2x+2)2

4(a3x3+a2x2+a1x+a0)(x+1)		b1x+b0
	+
(x2+2x+2)3		x2+2x+2

(x+2)=(3a₃x²+2a₂x+a₁)(x²+2x+2)−4(a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀)(x+1) +(b₁x+b₀)(x²+2x+2)² Po porównaniu odpowiednich współczynników powyższych wielomianów (tych występujących po obydwu stronach równości) dostajesz układ równań którego macierz odwrotną podałem Dlaczego podałem macierz odwrotną do macierzy głównej tego układu Jeśli mamy układ równań liniowych i wiemy że jego rozwiązanie jest jednoznaczne to Ax=B A⁻¹Ax=A⁻¹B x=A⁻¹B Oczywiście macierz A⁻¹ musi istnieć ale w układach równań liniowych pochodzących z rozkładu na sumę ułamków prostych czy z wydzielenia części wymiernej całki mamy pewność że ta macierz odwrotna istnieje