Obliczyć całkę Ania: ∫(2x−1)/(9x²+36x+40)² Jak się za to zabrać?

Mariusz: Sprawdzamy czy mianownika nie da się jeszcze rozłożyć 36²−4*9*40=1296−1440<0 Sprawdzamy czy stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika Jeśli jest wykonujemy dzielenie pisemne wielomianów Sprawdzamy czy mianownik ma pierwiastki wielokrotne (mogą być zespolone) Tutaj mamy mianownik już rozłożony ale na ogół sprawdzasz to licząc NWD(M(x),M'(x)) przez branie kolejnych reszt z dzielenia Wydzielamy część wymierną całki Tutaj mamy mianownik już rozłożony więc zapisujemy całkę w postaci

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Mianownik M₂(x) posiada te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze Mianownik M₁(x) znajdujemy korzystając z równości M(x)=M₁(x)M₂(x) Stopień licznika L₁(x) jest mniejszy niż stopień mianownika M₁(x) Stopień licznika L₂(x) jest mniejszy niż stopień mianownika M₂(x) Wiemy że liczniki są wielomianami , znamy też maksymalny możliwy stopień tych wielomianów więc za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe W twoim przykładzie

	2x−1		a1x+a0		b1x+b0
∫		=		+∫		dx
	(9x2+36x+40)2		9x2+36x+40		9x2+36x+40

Różniczkujemy obustronnie powyższą równość

2x−1		a1(9x2+36x+40)−(a1x+a0)(18x+36)
	=
(9x2+36x+40)2		(9x2+36x+40)2

	b1x+b0
+
	9x2+36x+40

2x−1=a₁(9x²+36x+40)−(a₁x+a₀)(18x+36)+(b₁x+b₀)(9x²+36x+40) 2x−1=9a₁x²+36a₁x+40a₁−(18a₁x²+36a₁x+18a₀x+36a₀) +9b₁x³+36b₁x²+40b₁x+9b₀x²+36b₀x+40b₀ 2x−1=9b₁x³+(36b₁+9b₀−9a₁)x²+(40b₁+36b₀−18a₀)x +40b₀+40a₁−36a₀ b₁=0 b₀=a₁ 36a₁−18a₀=2 80a₁−36=−1 b₁=0 b₀=a₁ −72a₁+36a₀=−4 80a₁−36a₀=−1 b₁=0 b₀=a₁ 8a₁=−5 72a₁−36a₀=4 −45−36a₀=4 −49=36a₀ b₁=0 b₀=a₁ 72a₁=−45 72a₀=−98

	2x−1		1	45x+98		45		dx
∫		=−			−		∫
	(9x2+36x+40)2		72	9x2+36x+40		72		9x2+36x+40

	dx		dx		dx
∫		=∫		=∫
	9x2+36x+40		9(x2+4x+4)+4		(3x+6)2+4

3x+6=2t 3dx=2dt

	2
dx=		dt
	3

	dx		2		dt
∫		=		∫
	9x2+36x+40		3		4t2+4

	dx		1		dt
∫		=		∫
	9x2+36x+40		6		t2+1

	dx		1		3x+6
∫		=		arctg(		)+C
	9x2+36x+40		6		2

	2x−1		1	45x+98		15		3x+6
∫		=−			−		arctg(		)+C
	(9x2+36x+40)2		72	9x2+36x+40		144		2