Ciagi 5-latek: Moze jakies takie spokojniejszse przyklady to pewnie zrobie natomiast mam troche klopot z takimi

	n+1
1) an= (		)n
	2n

	3n+1
2) an= (		)n
	2n+2

3) a_n= (5n+2}{7n+8})²ⁿ⁺³

	n
4)		)n+2
	2n+3

Sprawa jest taka ze wydawaloby sie ze to ciagi na granice z liczba e a jednak nie przeksztalci sie ich na ten wzor

iteRacj@: " wydawaloby sie ze to ciagi na granice z liczba e" nie zwróć uwagę, że w liczniku i mianowniku ułamka n nie jest mnożone przez tę samą liczbę rzeczywistą

5-latek: Dobry wieczor iteRacjo Tak tylko jak je rozwiazywac bo do tej pory i Pan doc.dr Gorniak i na trapezie polazyawali na liczbe e

5-latek:

iteRacj@: witaj! muszę juz odejść od komputera do świątecznych przygotowań może ktoś ma czas i odpowie, jak nie to przypomnij temat w przyszłym tygodniu w a/ wynik 0 w b/ wynik ∞ chybs że sie mylę

Nick: Powyciągaj n, poskracaj, podstaw i gotowe. Przypomnij sobie etrapeza, sam przerabiałem i były tam trudniejsze rzeczy

5-latek: Dobrze. Tylko sie za bardzo nie przemeczaj . Bo to jest tak . Przed Swietami (nie ruszaj bo to na Swieta ) Po Swietach (jedzcie bo sie zmarnuje )

Mila: 1) Przekształcam

	1		n+1
an=[		*(		)]n=
	2		n

	1		1
=(		)n*(1+		)n
	2		n

	1		1
lim		)n*(1+		)n=0*e=0
	2		n

5-latek: Dobry wieczor Milu Zaraz to sobie przepiszse do zeszytu Jeszcze bym Cie prosil o nastepne i o sprawdzenie https://matematykaszkolna.pl/forum/364396.html godz 18 ; 00

5-latek: Nick ja w poniedzialek i wterek bede mial wiecej czasu to przeirze trapeza

Mila:

	3n+1		3		n+13
2) an=(		)n= [		*(		)]n=
	2n+2		2		n+1

	3		2   −   3
=(		)n*(1+		)n
	2		n+1

	3
lim (		)n=∞
	2

	2   −   3
(1+		)n→e−2/3>0
	n+1

Mila: dalej spróbuj sam

5-latek: Milu liczylem skad to e^−2/3 w porzednim przykladzie ale juz doszsedlem (liczylem po swojemu)

	5n+2		5		n+2/5
an= (		)2n+3 =[		*		]2n+3 =
	7n+8		7		n+8/7

	5
(		)2n+3*(1+(−26/35)/(n+40/35)2n+3
	7

	5		5
Mam wzor an ale czy moge przyjac ze (		)2n+3=0 bo		<1 i 2n+3 bedzie dazyc
	7		7

do nieskonczonosci ?

5-latek: Wtedy granica tego ciagu to zero

jc: Dobry wieczór

	5n+2		5
0 <		<
	7n+8		7

	5n+2		5
Dlatego 0 < (		)2n+3 < (		)2n+3 →0.
	7n+8		7

Chyba jasne, że granica Twoje ciągu wynosi 0?

5-latek: Dobry wieczor jc

5-latek: Zostal mi ostani przyklad

	n
an= (		)n+2
	2n+3

5-latek: Jesli zrobie tak

	n		1
an= (		)n+2=
	n(2+3/n		(2+3/n)n+2

Teraz w mianowniku mam 2ⁿ⁺² czyli nieskonczenie duza Odwrotnosc nieskonczenie duzej to nieskinczenie mala czyli granica tego ciagu bedzie 0

jc: Po co tak kombinować? 0 < a_n < 1/nⁿ →0.

	1
Spróbuj znaleźć granicę takiego ciągu: an = (		)n.
	3+ cos n

5-latek: Poczekaj chwile moze znajde odpowiednie twerdzenie co do mianownika

5-latek:

1n
(3+cosn)n

3ⁿ bedzie dazyl do ∞ cos n jako ciag ogranicznony wiec mianownik bedzie dazyl do ∞ a ciag a_n bedzie dazyl do zera

5-latek: mam rozwiazanie tego ostatniego ciagu takie ale w pewnym momencie go nie rozumiem

	n		1
an= (		)n+2} =		(tutaj rozmiem ze podzielono przez n zeby dostac
	2n=3		(2n+3)/nn+2

1 w liczniku

	1
=		(to oczywiscie rozumiem
	(2n+3)/n)n*(2n+3)/n)2

	1
=		} czy to blad w ksiazce to 2n a nie 2n ?
	2n(1+3/2n)n*(2n+3)/n)2

jc: To prawda, że 3ⁿ →∞. Prawdą też jest, że ciąg cos n jest ograniczony. Ale dlaczego mianownik będzie dążył do ∞?

jc:

	n		1
0<		<
	2n+3		2

	n		1		1
0 < (		)n+2 <				→0
	2n+3		4		2n

	n
Zatem (		)n+2 →0
	2n+3

5-latek: jc mam w repetytorium takie twierdzenie jesli limn→∞a_n= ∞ (lim n→∞ a_n=−∞) zas ciag b_n jest ograniczony to lim n→∞(a_n+b_n)= ∞ (lim n→∞(a_n+b_n)=−∞)

5-latek: jc gdzie moge o tym przeczytac to co piszesz ?

jc: 5−latku, rzecz w tym, że granica = ∞, to żadna granica, niektórzy mówią, że to granica niewłaściwa. W dwóch posiadanych przeze mnie podręcznikach, tylko w jednym jest mowa o takich granicach i to 150 stron dalej. W szkołach, nie wiadomo dlaczego, te dwie granicę przedstawiane są równocześnie.

jc: Nic wielkiego nie napisałem. Zupełny banał. Jeśli |a_n| ≤ b_n i b_n →0, to a_n →0. To taka prostsza wersja twierdzenia o trzech ciągach.

5-latek: Niestety jc dla mnie to juz jest trudne . I muszse zrobic z kilka przykladow zeby zalapac

jc: Znasz twierdzenie o trzech ciągach?

5-latek: Tak

jc: No, więc skorzystałem z twierdzenia o trzech ciągach, przy czym po lewej stronie było po prostu zero.

5-latek: No tak . Tylko Ty wiesz a ja jestem w lesie )