równania 00000: Rozwiąż równanie: |x²−4|+|x²−5|=1. Jakie powinny być tutaj przedziały? Wychodzi mi: 1. (−∞,−√5> <√5,+∞) 2. (−√5,−2> <2, √5) 3. (−2,2) poprawny wynik to: <−√5,−√2> <2, √5) Mi z pierwszego przedziału wychodzi 2,5+√5 cały drugi i 0 z trzeciego Mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak to zrobić ?

iteRacj@: przedziały możesz zsumować, bo wartości bezwzględne "zachowują się" tak samo 1.(−∞,−√5> ∪ <−2,2> ∪ <√5,+∞) 2. (−√5,−2) ∪ (2, √5) teraz zapisz jak będzie wyglądać równanie bez wartości bezwzględnej w obu przypadkach i rozwiąż

Bogdan: Przecież podobny przykład miałeś już wytłumaczony tu 363887

00000: wiem i ten robię na podstawie tamtego, ale i tak mi nie wychodzi

iteRacj@: mój błąd 18:05 przedziały masz dobre, powinny być trzy 1. (−∞,−√5> <√5,+∞) 2. (−√5,−2> <2,√5) 3. (−2,2)

Mila: |x²−4|+|x²−5|=1 f(x)=x²−4 miejsca zerowe∊ {−2,2} x²−4≥0⇔x≤−2 lub x≥2 g(x)=x²−5 miejsca zerowe∊ {−√5,√5} x²−5≥0⇔x≤−√5 lub x≥√5 1) x≤−√5 lub x≥√5 obie funkcje przyjmują wartości nieujemne x²−4+x²−5=1 2x²=10 x²=5 ⇔x=√5 lub x=−√5 2) x∊(−√5, −2> x²−4−x²+5=1⇔1=1 Każda liczba x∊(−√5, −2> spełnia równanie 3) x∊(−2, 2) −x²+4−x²+5=1 ⇔ −2x²=−8 x²=4 ⇔x=2 lub x=−2 ∉D 4) x∊<2, √5) x²−4−x²+5=1 1=1 każda liczba x∊<2, √5) spełnia równanie odp. x∊<−√5,−2> ∪<2,√5>

00000: Bardzo dziękuję, już rozumiem Podziwiam, też chcę tak umieć matematykę

Mila: Na pewno to się uda, gdy włożysz trochę systematycznej pracy.

PW: Trochę mnie nie było, więc może już niepotrzebnie, ale chcę podać rozwiązanie typu "czary−mary", bez "rozbijania na przedziały". Znana jest nierówność: dla dowolnych rzeczywistych a i b |a+b| ≤ |a| + |b|, przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zeru lub a i b są tego samego znaku. Biorąc (1) a=x²−4, b = −5+x² dostajemy: 1 = |(x²−4)+(−x²+5)| ≤ |x²−4| + |x²−5|, czyli nierówność 1 ≤ |x²−4| + |x²−5| jest spełniona dla wszystkich x, zaś równość 1 = |x²−4| + |x²−5| ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z liczb (1) jest zerem lub liczby te są jednakowych znaków. Rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x) = x²−4 i g(x) = −5+x² i odczytujemy zbiór rozwiązań (oczywiście taki jak końcowy u Mili).

iteRacj@: @PW mam pytanie, czemu w tym równaniu 1 = |(x²−4)+(−x²+5)| ≤ |x²−4| + |x²−5| jest 1= |a−b| ≤ |a| + |b| (o ile dobrze to rozumiem)?

PW: Tak, ale ja sobie "przekręciłem" : |x²−5|=|−x²+5| i wtedy korzystam z wzoru 1 = |a+b| ≤ |a|+|b|

iteRacj@: dzięki za wyjaśnienie i za sposób : )

PW: To: 364019 też by się tak dało.

iteRacj@: już to u siebie tak rozwiązuję, żeby przećwiczyć