odwzorowanie liniowe Misiek: Mógłby mi ktoś z tym pomóc, ja juz wymiekam.... Czy odwzorowania T: R² → R³ a) T(x₁,x₂) = (x₁−2x₂−5, 4x₁+3x₂−6, −5x₁+7x₂+2) b) T(x₁,x₂) = (x₁+10x₂,5x₁−8x₂,−7x₁+6x₂) są liniowe? Prawopodobnie a) nie jest, b) jest liniowe. Staram sie to jakos zrozumiec, poniewaz moj wykladowca nic kompletnie nie tlumaczy. Jak cos to x₁ to "x" a x₂ to "y", bo wprowadzil jakies swoje oznaczenia. Wiem, ze są te warunki, że: T(x₁+x₂)=T(x₁)+T(x₂) oraz αT(x)=T(αx) Mógłby mi ktoś to szczegółowo rozpisać, bardzo byłbym wdzięczny....

g: Ja bym oba odwzorowania określił jako liniowe ponieważ wszystkie trzy współrzędne są liniowymi funkcjami x₁ i x₂, ale jeśli za definicję liniowości przyjąć te dwa warunki, to pierwsze odwzorowanie rzeczywiście nie jest liniowe. Pod adresem https://pl.wikipedia.org/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe jest wyjaśniona różnica między funkcją liniową a przekształceniem liniowym.

Misiek: Chodziło mi bardziej o rozwiązanie tego za pomocą tych warunków, tego sie ode mnie wymaga.

PW: a) Gdyby T było odwzorowaniem liniowym, to T((0,0)+(x₁,x₂)) = T((0,0)) + T((x₁,x₂), czyli T((x₁,x₂)) = T((0.0)) + T((x₁,x₂)). Tak nie jest, gdyż lewa strona jest równa T((x₁,x₂)) = (x₁−x₂−5, 4x₁+3x₂−6, −5x₁+7x₂+2), zaś prawa strona jest równa (−5, −6, +2) + (x₁−x₂−5, 4x₁+3x₂−6, −5x₁+7x₂+2) = = (x₁−x₂−10, 4x₁+3x₂−12, −5x₁+7x₂+4)

Misiek: O takie przekształcenie mi chodziło: https://matematykaszkolna.pl/forum/178331.html Mógłbyś zrobić dla przykładu podpunkt b tym sposobem, ktorym zrobiłeś bądź ktoś inny tymi sposobem, ktory podałem w linku i tam kolega nim robił? Ciezko mi cokolwiek zrozumiec jak nie widze skad sie co bierze.

PW: Jestem autorem tamtej odpowiedzi, więc jak dla mnie to byłoby nudne. Po prostu naśladuj tamten sposób zmieniając tylko definicję odwzorowania. Wiem, co Ci się kićka. Napisałeś jeden z warunków liniowości w postaci T(x₁+x₂) = T(x₁) + T(x₂) i jednocześnie (x₁,x₂) to oznaczenie punktu w R². To musi się mylić. Napisz warunek liniowości w postaci T(u+v) = T(u)+T(v) i podstaw u=(x₁,x₂) i v=(y₁,y₂) − wszystko zrobi się jasne. W przykładzie a) mieliśmy u=(0,0) i v=(x₁,x₂).

Misiek: Teraz nie wiem czy dla mnie x₂ oznacza y, czy nie.... faktycznie nie zauwazylem, ze to ty pisales Dlaczego w przykładzie a) u=(0,0) ? Nie czaje tego... Przykład b) analogicznie rozwiązując do tamtego co Ty, to robie tak: u=(x₁,x₂) i v= (y₁,y₂) T(u+v) = T(x₁+x₂,y₁+y₂) = x₁+x₂+10(y₁+y₂), 5(x₁+x₂)−8(y₁+y₂), −7(x₁+x₂)+6(y₁+y₂) I co dalej?

Misiek: Po prostu podstawilem za x₁ (x₁+x₂) a za x₂ (y₁+y₂) i nic mi to nie dalo...

Misiek: Czy tam za U i V*****

PW: Jeżeli oznaczyłeś u = (x₁,x₂) i v=(y₁,y₂), to u+v= (x₁+y₁, x₂+y₂), a więc (1) T(u+v) = T( (x₁+y₁, x₂+y₂) = =(x₁+y₁+10(x₂+y₂), 5(x₁+y₁)−8(x₂+y₂),− 7(x₁+y₁)+6(x₂+y₂)). Dobrze jest opowiedzieć to słowami: definicja przekształcenia T nakazuje − jako pierwszą współrzędną wyniku wziąć sumę pierwszej współrzędnej i 10−krotności drugiej − jako drugą współrzędną wyniku wziąć różnicę 5−krotności pierwszej współrzędnej i 8−krotności drugiej − jako trzecią współrzędną wyniku wziąć różnicę 6−krotności drugiej współrzędnej i 7−krotności pierwszej współrzędnej.. Znowu lepiej byłoby napisać definicję T w innych symbolach, które nie myliłyby się z oznaczeniami punktów w R², np. T(a,b) = (a+10b, 5a−8b, −7a+6b) i podstawić a=x₁+x₂, b = x₂+y₂, tutaj (a,b) jest sumą (x₁,x₂)+(y₁,y₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂). Profesorowi jest wszystko jedno − to są tylko oznaczenia − a student musi sobie radzić i dobrze to pojąć. Polecam "słowne opowiadanie" definicji. Żeby dokończyć zadanie b) trzeba pokazać, że T(u)+T(v) da tyle samo co (1).

Misiek: No tak, teraz sie zgadza wszystko... Wystarczy wszedzie podstawic to u=(x₁,x₂) oraz v=(y₁,y₂) Tylko teraz sie zastanawiam dlaczego dla przypadku a to nie zachodzi skoro identycznie sie to robi i identycznie zachodzi. Ciekawi mnie o co chodzi z tym, ze napisales ze u=(0,0) w a tyle wynosi, a nie x₁, x₂.

PW: Pokazać, że nie jest liniowe wystarczy na jednym przykładzie, a element neutralny jest do tego celu znakomity − patrząc na definicję T od razu widzimy, że T(0,0)≠(0,0,0), a więc nie będzie T((0,0)+(a,b)) = T(0,0)+T(a,b), a powinno, bo T((0,0)+(a,b)) = T((0+a,0+b)) = T((a,b))

Misiek: No tak, to teraz gdy bede mial sprawdzic czy odwz. jest liniowe to zaczac od tego co napisałes w ostatnim wpisie?

Misiek: A jezeli chcialbym sie kluczowo trzymac definicji, to jak wykazac ze 1 warunek nie jest liniowy? Na cwiczeniach tego nie ogarnalem, bo 10 osob robilo jeden przyklad i zamęt był, nie wiem nawet co wykładowca powiedział odnosnie tego przykladui.

Misiek: Bo tak jak juz wspomnialem o 20:35, gdybym uzyl ze u i v jest takie samo jak w przykladzie b, to wydaje mi sie ze wszystko by mi wyszlo.