odwzorowanie liniowe
stefan: Sprawdzić czy jest to odwzorowanie liniowe
a) f(x,y)=(x,y,x+y)
b) f(x,y,z)=(2x+z,y2)
Jak się takie zadania robi,proszę o pomoc.Dziękuje
8 sty 00:18
stefan: up
8 sty 00:27
stefan: ?
8 sty 00:41
stefan: ?
8 sty 00:54
stefan: chociaż jakaś wskazówka...
8 sty 01:25
PW: Mamy tutaj przekształcenie przestrzeni R2 w przestrzeń R3.
Przekształcenie nazywamy liniowym, jeżeli dla dowolnych elementów u1=(x1,y1), u2=(x2,y2)
i u=(x,y)oraz dowolnego a∊R
f(u1+u2) = f(u1)+f(u2) i f(a.u)=a.f(u).
Sprawdzamy pierwszy warunek:
f(u1+u2) = f(x1+x2,y1+y2) = (x1+x2,y1+y2,x1+x2+y1+y2)=
=(x1,y1,x1+y1) + (x2,y2,x2+y2)=
= f(x1,y1) + f(x2,y2) = f(u1)+f(2)
Wydaje się to "ple−ple", więc uczenie trzeba wyjaśnić: pierwsza linijka to zastosowanie
definicji przekształcenia f (z elementu przestrzeni R2 tworzymy element przestrzeni R3 w ten
sposób, że pierwsze dwie współrzędne bierzemy takie same, a trzecią tworzymy jako sumę dwóch
pierwszych), druga linijka to skorzystanie z liniowości przestrzeni R3, a trzecia linijka to
zastosowanie "z powrotem" definicji przekształcenia f.
Sprawdzamy drugi warunek:
f(au) = f(ax,ay) = (ax, ay, ax+ay) = (ax,ay,a(x+y)) = a(x,y,x+y) = af(x,y) = af(u)
Tutaj po kolei mamy: zastosowanie liniowości R2 − bo piszemy a.u=(ax,ay), zastosowanie
definicji przekształcenia f − z elementu przestrzeni R2 zrobiło element przestrzeni R3,
dalej skorzystanie z liniowości przestrzeni R3 i zastosowanie "z powrotem" definicji
przekształcenia f.
Uff, przekształcenie f jest liniowe.
W b) masz przekształcenie R3 w R2 (pewnie nie jest liniowe, bo druga współrzędna powstaje z
drugiej przez podniesienie do kwadratu, a to nie jest przekształcenie liniowe mówiąc w
skrócie, ale sprawdź to cierpliwie w sposób podany wyżej.
u1 = (x1,y1,z1), u2=(x2,y2,z2)
i sprawdzamy: f(u1+u2) = f(x1+x2,y1+y2,z1+z2) =
= (2(x1+x2)+(z1+z2), (y1+y2)2)) = .....dobrej zabawy (wiem, to zabawa dla teoretyków,
dla "normalnych ludzi" to męka)
8 sty 13:10