grupy algebra: Nie rozumiem takiego twierdzenia: Kazda transpozycja jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji. Transpozycja to cykl o dlugosci 2. Moglbym poprosic o wytlumaczenie na przykladzie?

algebra: ?

algebra: Poprawione: Nie rozumiem takiego twierdzenia: Kazda transpozycja jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji liczb sasiednich. Transpozycja to cykl o dlugosci 2. Moglbym poprosic o wytlumaczenie na przykladzie?

jc: np. (1,5)=(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)(2,3)(1,2)

algebra: Ok. A jak rozpisac (2,3) ?

PW: To jest jedna transpozycja liczb sąsiednich. 1 jest liczbą nieparzystą.

algebra: A co to znaczy sasiednich? O ktore liczby dokladnie chodzi?

PW: A to zdaje się nie rozumiesz sensu tego co się dzieje. Mamy ciąg, np. (a,b,c,d,e,f,g). Dokonujemy przekształcenia, po którym otrzymujemy ciąg (a,c,b,d,e,f,g). To jest właśnie transpozycja (2,3) dwóch sąsiednich elementów ciągu: elementy stojące na 2. i 3. pozycji zamieniły się miejscami. Żeby skrócić zapisy, podaje się tylko pozycje elementów, które się zamieniały (o pozostałych się nic nie pisze; zakładamy, że czytelnik wie, jakie są elementy ciągu). jc pokazał właśnie jak to się może odbywać w ciągu (1,2,3,4,5): 1→2 i 2→1 ( 1,2) − pierwsza transpozycja patrząc od prawej) 1→3 i 3→1 ( 2,3) −(druga transpozycja; teraz na miejscu nr 2 stała liczba 1, bo w pierwszym przekształceniu nastąpiła zamiana, a więc ta transpozycja przestawia liczbę 1 na pozycję 3. i liczbę 3 na pozycję 2.). W ten sposób pierwsze 4 przekształcenia przeprowadzają 1 z pozycji nr 1 na pozycję nr 5. Dalsze służą przekształceniu 5, która znalazła się na pozycji nr 4, na pozycję nr 1. Zaim powiemy "to proste", warto cierpliwie pisać kolejne permutacje w układzie dwuwierszowym − numery pozycji w ciągu oraz kolejne ciągi, jak tu 359914

algebra: Dziekuje. Tylko, ze:

1 2 3 4 5 2 1 3 4 5
	=(1, 2)

1 2 3 4 5 2 3 1 4 5
	=(1, 2, 3) a przeciez tutaj jest moment, gdzie liczba 1 jest na pozycji

3, a liczba 3 na pozycji 2 to jak to mozna zapisac jako (2,3)? Ja zapis (2,3) rozumiem tak, ze 2 przechodzi na 3; 3 przechodzi na 2. Moglbym poprosic o wytlumaczenie tego na literkach i wartosciach

	x1 x2 ... xn f(x1) f(x2) ... f(xn)
(w sensie		) ?

Pytający: Nie bardzo rozumiem, o co pytasz, ale przecież (1,2,3) nie jest transpozycją, więc nie łapie się do twierdzenia. Acz oczywiście można (1,2,3) przedstawić jako iloczyn transpozycji liczb sąsiednich, jak każdą permutację. (1,2,3)=(2,3)(1,2)

algebra: No bo tak: rozklad na iloczyn transpozycji a rozklad na iloczyn transpozycji liczb sasiednich to jest cos innego prawda? Nie rozumiem rozkladu na iloczyn transpozycji liczb sasiednich. Np. β=(1,2,3,4,5,6,7,8)= =A=(1,8)(1,7)(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)= =B=(8,7)(8,6)(8,5)(8,4)(8,3)(8,2)(8,1)= =C=(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8). Kazdy z tych 3 rozkladow, czyli A, B, C jest rozkladem na iloczyn transpozycji (ale nie jest to rozklad na iloczyn transpozycji liczb sasiednich) Czyli β (β nie jest transpozycja to wiem) jako rozklad na iloczyn transpozycji moge zapisac jako β=A=B=C. A jak jest z rozkladem transpozycji (cyklu w ogole) na iloczyn transpozycji liczb sasiednich? Moglbym poprosic o wytlumaczenie tego na literkach i wartosciach

	x1 x2 ... xn f(x1) f(x2) ... f(xn)
(w sensie		) ?

Pytający: Powiedzmy masz transpozycję (a,b), a<b:

... a ... b ... ... b ... a ...

Jak do niej dojść z układu pierwotnego:

... a a+1 ... b−1 b ... ... a a+1 ... b−1 b ...

stosując jedynie transpozycje liczb sąsiednich? Możemy najpierw po kolei a "przesuwać w prawo":

	... a a+1 ... b−1 b ... ... a+1 a ... b−1 b ...
(a,a+1)=

	... a a+1 a+2 ... b−1 b ... ... a+1 a+2 a ... b−1 b ...
(a+1,a+2)(a,a+1)=

...

	... a a+1 ... b−1 b ... ... a+1 a+2 ... b a ...
(b−1,b)...(a+1,a+2)(a,a+1)=

Następnie należy jeszcze analogicznie "przesunąć w lewo" b (które w tym momencie jest na pozycji b−1):

	... a ... b ... ... b ... a ...
(a,a+1)...(b−2,b−1)(b−1,b)...(a+1,a+2)(a,a+1)=

W ten sposób zawsze otrzymamy rozkład transpozycji (a,b) na iloczyn 2*(b−a)−1 transpozycji liczb sąsiednich. Oczywiście można rozłożyć inaczej, to tylko przykładowe podejście. (każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu transpozycji) ∧ ∧(każdą transpozycję można przedstawić w postaci iloczynu transpozycji liczb sąsiednich) ⇒ ⇒(każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu transpozycji liczb sąsiednich)

algebra: Dziekuje.

algebra: Czyli np. Rozklad transpozycji na iloczyn transpozycji liczb sasiednich: (2,4)=(2,3)(3,4)(2,3) (3,8)=(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(6,7)(5,6)(4,5)(3,4) (6,3)=(3,6)=(3,4)(4,5)(5,6)(4,5)(3,4) Dobrze?

algebra: ?

Pytający: Dobrze.

algebra: Dziekuje