Równania i nierówności z logarytmami Rafał: https://puu.sh/y6G2a/96d9a2d1f6.jpg − bez podpunktu a, b, e. Zależy mi na tym, jak podchodzić do takich niestandardowych zadań, nie na samych rozwiązaniach. https://puu.sh/y6G3T/324402a612.jpg − bez podpunktu h,i,j;; j/w log₂ (x−2) + log_1/2 (2x−3) > 1

Jerzy: Równania i nierówności wykładnicze. Nie ma reguły. Na ogół stosuje się podstawienia lub doprawadza do jedności podstaw poteg.

Jerzy: Popatrz na to: https://matematykaszkolna.pl/forum/359906.html

Rafał: Właśnie tego próbowałem do podpunktu c), aby podzielić jedną stronę przez drugą, ale niezbyt to wychodzi.

Jerzy: c) 5^x*2^x*2 = (5*2)^2x* ⇔ 2* (2*5)^x = (2*5)^2x* ⇔ 2*10^x = (10^x)² i teraz podstaw: 10^x = t i t > 0

Jerzy: Teraz widzę,że to Tobie wczoraj pomagałem.

Jerzy:

	(10x)2
Możesz też zrobic tak: 2*10x = (10x)2 ⇔		= 2 ⇔ 10x = 2
	10x

Rafał: Tak, to byłem ja. t = 2, t = 0 (SPRZ) 10^x = 2 x = log 2 Czyli log 2(x − log 2) ≤ 0 x ∊ <log 2; +∞)

Jerzy: A co to jest na końcu ? Przecież masz rozwiazać równanie, czyli jedyne rozwiazanie: x = log2.

Rafał: To jest nierówność 5^x * 2^x+1 ≤ 5^2x * 2^2x

Jerzy: Faktycznie ... t² − 2t ≥ 0 ⇔ t(t − 2) ≥ 0 ⇔ t ∊ (−∞;0> ( odpada ) lub t ≥ 2 10^x ≥ 2 ⇔ log10^x ≥ log2 ⇔ x ≥ log 2

Rafał: 9/a 2^x+2 = 3^2x+1 2^x * 4 = 3^2x * 3

2x * 4
	= 1
32x * 3

4		2x
	*		= 1
3		32x

2x		3
	=
32x		4

Co dalej robić? Czy dobrze zacząłem?

Rafał: 9/a 2^x+2 = 3^2x+1 2^x * 4 = 3^2x * 3

2x * 4
	= 1
32x * 3

4		2x
	*		= 1
3		32x

2x		3
	=
32x		4

Co dalej robić? Czy dobrze zacząłem?

Jerzy:

	2		3
(		)x =		⇔ x = log2/9(3/4)
	9		4

Trochę dziwny wynik ( rzadki w zadaniach )

Rafał:

	4   ln   3
W odpowiedziach widnieje x =
	9   ln   2

Rafał: Czyli odpowiedź jest zgodna. Bierzemy to z postaci log_ac = b; a^b = c

Jerzy:

	logcb
logab =		a , tutaj wzięli: c = e
	logc

Rafał: 8/d log₂ (x−2) + log_1/2 (2x − 3) > 1 log₂ (x−2) > 1 − log_1/2 (2x − 3) log₂ (x−2) > log_1/2 1/2 − log_1/2 (2x − 3) log₂ (x−2) > log_1/2 (1/4x − 6) Co dalej?

Jerzy: Zacznij od ujednolicenia podstaw logarytmów.

Jerzy: A poza tym, masz źle policzoną prawa stronę.

Jerzy: OK .. źle zapisane. P = log_1/2(4x − 6)⁻¹

Rafał: To zaczynam od początku: log₂ (x−2) + log_1/2 (2x − 3) > 1 log₂ (x−2) + log_1/2 (2x − 3) > log₂ (x−2) Jak zamienić teraz log_1/2 (2x − 3) na log₂ y?

Jerzy: Miałeś dobrze, tylko źle zapisane. log₂(x − 2) > − log_1/2(4x −6) ⇔ log₂(x − 2) > log₂(4x − 6)

Jerzy: 12:06 ... źle prawa strona: 1 = log₂2

Jerzy: Oczywiście miałeś dobrze o 12:00 ( tylko zły zapis)

Rafał: Czyli ostatecznie jest log₂ (x−2) > log₂ (4x − 6) po przekształceniach: −3x > −4 x < 4/3 Jednak z założeń x − 2 > 0 ==> x > 2, dlatego nie ma żadnych rozwiązań spełniających nierówność.

Jerzy:

	log2(2x − 3)		log2(2x−3)
log1/2(2x − 3) =		=		= − log2(2x − 3)
	log2(1/2)		−1

Jerzy: Tak, brak rozwiazań.

Rafał: Czyli przenosząc na prawą stronę mam log₂(2x − 3) + log₂2 = log₂(4x − 6) i reszta jak napisałem?

Rafał: 5/d 3 * 16^x − 7 * 12^x + 4 * 9^x ≤ 0 3 * 4^2x − 7 * 3^x * 4^x + 4 * 3^2x ≤ 0

Jerzy: Nie rozumiem.

Rafał: Już rozumiem, nie było pytania.

Jerzy: 5/d 3*4^x*4^x − 7*3^x*4^x + 4*3^x*3^x ≤ 0 tera obustronnie podziel przez: 3^x*4^x

Jerzy: Dostajesz: 3*(4/3)^x − 7 + 4(3/4)^x ≤ 0 i podstaw: (3/4)^x = t i t > 0

Rafał: 4t² − 7t + 3 ≤ 0 t₁ = 3/4 t₂ = 1 x₁ = 1 x₂ = 0 x ∊ <0; 1> co jest zgodne z odpowiedziami

Jerzy: Czyli nie bolało.

Rafał: Nie bolało 5/c 2^{x2 − 1} − 3^x2 > 3^x2−1 − 2^{x2 + 2} Podobny przykład, ale tutaj nie mamy już mnożenia tylko dodawanie/odejmowanie. Można tak zacząć: [?] 2^x2 * 1/2 − 3^x2 > 3^x2 *1/3 − 2^x2 * 4 2^x2 * 1/2 + 2^x2 * 4 > 3^x2 *1/3 + 3^x2

Rafał: 9 * 2^x2 > 8/3 * 3^x2 | * 3 27 * 2^x2 > 8 * 3^x2

Rafał: 3³ * 2^x2 > 2³ * 3^x2

	2		2
(		)x2 > (		)3
	3		3

Odwracam znak, ponieważ funkcje są malejące x² < 3 x ∊ (−√3; √3)

Jerzy:

Rafał: Dzięki wielkie za całą pomoc. Już niejednokrotnie mi Pan pomógł czy to przed maturą czy już na studiach. Potrzebuję krótkiej przerwy i spróbuję zrobić resztę zadań. Dziękuję i życzę dobrego dnia.