dwukrotny pierwiastek wielominanu abc: Dla jakich a oraz b liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁴ − ax³ + 2ax² − 6x + b ? Uprzejmie proszę o pomoc i z góry dziękuję.

Jack: albo tak : W(x) = (x−1)²(x² + ax + b) wymnożyć i porównać z tym z polecenia albo tak: https://matematykaszkolna.pl/strona/121.html

Adamm: W(1)=a+b−5=0 W'(x)=4x³−3ax²+4ax−6 W'(1)=a−2=0 ⇒ a=2 b=5−a=3 W''(x)=12x²−6ax+4a W''(1)=12−2a≠0 odp. a=2, b=3

Jack: Adamm, dlaczego druga pochodna? jako, że (x−1)² to to nie powinno być, że na 100% pochodna się tam zeruje?

Adamm: ?

Jack: Bo sprawdzasz drugą pochodną czy jest różna od zera i jestem ciekaw dlaczego... Przecież to sprawdza czy nie ma punktu przegięcia...

Adamm: upewniam się że dla a=2, b=3 pierwiastek jest dwukrotny np. dla W(x)=(x−1)³ mamy W(1)=0, W'(1)=0, ale również W''(1)=0 więc pierwiastek nie jest podwójny

Jack: Ale w tresci zadania jest, ze pierwiastek jedynka jest podwójna, wiec przypadek (x−1)³ raczej odpada...

Adamm: to był przykład

Adamm: jeśli W^(k)(x₀)=0 dla k=1, 2, ..., n to x₀ jest pierwiastkiem co najmniej n−krotnym tego wielomianu spróbuj udowodnić takie twierdzenie