Rozwiąż równanie rekurencyjne mikser123: Rozwiąż równanie rekurencyjne a_n = 5a_n−1 − 8a_n−2 + 4a_n−3 dla n>=3 a₀=1, a₁ = 1, a₂ =3 Po rozpisaniu mam tak x³ − 5x²+8x−4 = 0 tylko potem nie wiem skąd się wzięło (x−1)(x²−4x+4)=0

Mariusz: Nie lepiej skorzystać z funkcji tworzącej ? A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞5a_n−1xⁿ−∑_n=3^∞8a_n−2xⁿ+ ∑_n=3^∞4a_n−3xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=5x∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹−8x²∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻²+ 4x³∑_n=3^∞a_n−3xⁿ⁻³ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=5x∑_n=2^∞a_nxⁿ−8x²∑_n=1^∞a_nxⁿ+ 4x³∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−x−3x²=5x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−x)−8x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ−1)+ 4x³∑_n=0^∞a_nxⁿ A(x)−1−x−3x²=5x(A(x)−1−x)−8x²(A(x)−1)+4x³A(x) A(x)−1−x−3x²=5xA(x)−5x−5x²−8x²A(x)+8x²+4x³A(x) A(x)−5xA(x)+8x²A(x)−4x³A(x)=1−4x+6x² (1−5x+8x²−4x³)A(x)=1−4x+6x²

	1−4x+6x2
A(x)=
	1−5x+8x2−4x3

	1−4x+6x2
A(x)=
	(1−x)(1−2x)2

	(1−2x)2+2x2
A(x)=
	(1−x)(1−2x)2

	1		2x2
A(x)=		+
	1−x		(1−x)(1−2x)2

(1−x)−(1−2x)=x (1−x)²−2(1−x)(1−2x)+(1−2x)²=x²

	1		(1−x)2−2(1−x)(1−2x)+(1−2x)2
A(x)=		+2(		)
	1−x		(1−x)(1−2x)2

	1		2−2x		4		2
A(x)=		+		−		+
	1−x		(1−2x)2		1−2x		1−x

	3		1		3
A(x)=		+		−
	1−x		(1−2x)2		1−2x

	1
∑n=0∞2nxn=
	1−2x

d		d		1
	∑n=0∞2nxn=		(		)
dx		dx		1−2x

	−1
∑n=0∞n2nxn−1=		(−2)
	(1−2x)2

	2
∑n=1∞n2nxn−1=
	(1−2x)2

	2
∑n=0∞(n+1)2(n+1)xn=
	(1−2x)2

	1
∑n=0∞(n+1)2nxn=
	(1−2x)2

a_n=3+(n+1)2ⁿ−3 2ⁿ a_n=3+(n−2)2ⁿ

mikser123: O chłopie trochę mi pokomplikowałeś tamto do góry było trudne a to co napisałeś to już nie na mój poziom ja tylko chciałem się dowiedzieć jak w pytaniu wyzej skąd wzięło się (x−1)... bo reszte wiem jak dalej obliczyć tą metodą

Pytający: Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: 121. Pierwiastków wymiernych wielomianu x³ − 5x²+8x−4 należy szukać pośród liczb: ±1, ±2, ±4. Wystarczy podstawiać po kolei, już dla x=1 mamy pierwiastek (1³ − 5*1²+8*1−4=0). Zatem dzielimy ten wielomian przez (x−1), stąd otrzymana postać (x−1)(x²−4x+4)=0. Dzielenie wielomianów: 107.

Mariusz: Jak korzystamy z funkcji tworzącej to przynajmniej widać skąd się każdy krok bierze

Mila: x³ − 5x²+8x−4 = 0 W(1)=1−5+8−4=0⇔ W(x) dzieli się przez x−1 Schemat Hornera 1 −5 8 −4 x=1 1 −4 4 0 −−−−−−−−−−−−−−−−− x³ − 5x²+8x−4=(x−1)*(x²−4x+4)=(x−1)*(x−2)² x=1, x=2 pierwiastek podwójny r. charakterystycznego Postać rozwiązania: a_n=A*1ⁿ+B*2ⁿ+C*n*2ⁿ a₀=1=A+B a₁=1=A+2B+2C a₂=3=A+4B+8C −−−−−−−−−−−−−−−−−− stąd: A=3, B=−2, C=1 a_n=3−2*2ⁿ+n*2ⁿ a_n=3+2ⁿ*(n−2) ==============