Całka oznaczona karty do gry : Witam. Mam następującą całkę: ∫(1 − x²)ⁿ dx , w granicach od 0 do 1 , n ∊ N Czy zna ktoś sposób aby ją policzyć który nie wykorzystuje indukcji matematycznej ?

g: policzyć łatwo

	(−1)i	n i
(i=0, n) ∑
	2i+1

ale pewnie chodzi o to żeby to uprościć.

karty do gry :

	(2n)! !
Chodzi o to aby dostać wynik :		(silnie podwójne)
	(2n+1)! !

Próbowałem podstawieniem x = sin(t), ale zrobiła mi się z tego całka ∫ cos²ⁿ⁺¹(t) dt I nie wiem jak policzyć taką całkę oznaczoną.

jc: Pomyliłem wpisy. Spójrz tutaj. https://matematykaszkolna.pl/forum/356078.html

karty do gry : Dziękuję. Bardzo średnio stoję z czasem w ostatnich dniach dlatego tak późno odpisuję. Niestety nie mogę użyć równości G(1/2) = √π ponieważ właśnie ją staram się udowodnić. Skoro znam wynik to zastosuje indukcje matematyczną. Jeszcze raz dziękuję.

jc: Całkowanie przez części daje prostą rekurencję. (2n+1) ∫₀¹ (1−x²)ⁿ dx = 2n ∫₀¹ (1−x²)ⁿ⁻¹ dx Sprawdź

karty do gry : Sprawdzę. Jeszcze raz bardzo dziękuje.