matematyka Metis: jc Jeśli się pojawisz to proszę zerknij na te zadania Będę Ci wdzięczny za każdą pomoc. 1) https://image.prntscr.com/image/qj7TAIUPReemRqMy9ZyVZQ.png

Kacper: A czego nie wiesz?

Metis: Jak to ma wyglądać Musi mi ktoś to rozpisać bym zobaczył jak to się robi. Na wykładach było zbyt wiele teorii niż zadań. Gdybym chciał analizować to od zera musiałbym poświęcić na to kilka tygodni, a egzamin piszę jutro, więc chce tylko przerobić zadania egzaminacyjne. Jeśli potrafisz mi to rozwiązać to pisz śmiało

jc: To jest jedno zadanie. Zobaczę, jak wrócę za kilka godzin. Wydaje się proste. Po prostu podstaw x,y,z wyrażone przez r i kąty. Pamiętaj o jakobianie. Trzymaj się polecenia.

Metis: Chciałbym jeżeli będziesz miał czas mi to ładnie rozpisał, muszę sobie to przeanalizować wtedy zrozumiem i nie pomylę się w innym przypadku. Kolejne wstawię za chwilkę.

Metis: https://image.prntscr.com/image/HIpZmbJdQhi7qoavX7bhLA.png

Adamm: z²+y²+x²≤2 z≥0 y≤0 x=rcosθsinφ, y=rsinθsinφ, z=rcosφ r∊<0;√2> θ∊<π;2π> φ∊<0;π/2> J=r²sinφ

	yz2
∫∫∫V		dzdydx=∫0π/2∫π2π∫0√2r3sinθcos2φdrdθdφ=
	x2+y2

=(∫₀^π/2cos²φdφ)*(∫_π^2πsinθdθ)*(∫₀^√2r³dr)

jc: No to pierwsze masz rozwiązane

Metis: Ok dzięki Adammm Wyjaśnij mi jak określasz jakobian

Adamm: jeśli masz na myśli żebym ci go rozpisał, to nie mam najmniejszego zamiaru już na kartce zajmuje to z jedną stronę

Metis: Tylko wyjaśnij Nie przepisuj

Adamm: no, normalnie

	δx		δx		δx
|						|
	δr		δθ		δφ

	δy		δy		δy
|						|
	δr		δθ		δφ

	δz		δz		δz
|						|
	δr		δθ		δφ

liczysz wszystkie pochodne cząstkowe i liczysz wyznacznik tak naprawdę tego nie robiłem, tylko przepisałem gotowy jakobian raz liczyłem ten wyznacznik, ale zajmuje to dużo miejsca i trochę czasu też lepiej go zapamiętać niż liczyć, bo to męczarnia

Metis: O boziu Dzięki Potrafisz może jakiekolwiek z kolejnych?

Adamm: 3, 4, 5 potrafię 3. D={(x; y): 0≤x≤π/2, 0≤y≤−2x+π} ∫∫_Dsinxdxdy=... 4. y=t, x=t²/2 t∊<√2;2>

	t		t
∫√22		√y'2+x'2dt=∫√22		√1+t2dt=...
	2		2

5. x=rcosθ, y=rsinθ r∊<1;3>, θ∊<0;2π> ∫₀^2π∫₁³√z_x²+z_y²+1drdθ= =∫₀^2π∫₁³√2drdθ=...

Metis: dzięki, będę analizował i pytał.

piotr: 4.∫_√2² y (1/2 √1 + 4 y²) dy

Adamm: 5. zapomniałem o jakobianie

Adamm: jeszcze odnośnie 6. przepraszam jeśli to głupie pytanie, ale czy xdydz+ydzdx−zdxdy oznacza u ciebie to samo co F^→•dS^→ gdzie F^→=<x; y; −z> ? jeśli tak to jednak wiem jak to zrobić

Adamm: a raczej F^→•d∑^→

jc: Jakobian liczy się łatwo, ale nikt nie będzie tego od Ciebie wymagał. W rozpatrywanym przypadku linie współrzędnych są do siebie prostopadłe. Jeśli pomnożysz macierz, którą napisał Adamm przez macierz transponowaną, otrzymasz macierz diagonalną. I to właściwie koniec, ale nie zawracaj sobie tym głowy. Dobrze jednak, abyś znał definicję jakobianu. Jak nie było to potrzebne, to może nie będzie, ale kto wie? Spojrzę potem na zadanie 2.

Metis: Ok

Metis: Adammm możesz mi wyjaśnić 3) ? To przejście do ∫∫sinxdxdy=...

jc: całka po brzegu ∫(A dx + Bdy) = całka po obszarze ∫∫ [δB/δx − δA/δy] dx dy ∫ (2^x dx − cos x dy) = ∫∫ sin x dx dy = ∫₀^π/2 dx ∫₀^π−2x sin x dy =∫₀^π/2 (π−2x) sin x dx = ...

Metis: Ok , rozumiem

Adamm: tak, tylko krzywa musi być pozytywnej orientacji jeśli nie jest, to dodajesz − żeby zmienić jej orientację

Metis: http://prntscr.com/fsfmx9 Jakie będą granice całkowania?

Adamm: r²≤z≤4 0≤r≤4 0≤θ≤π/2

Adamm: 0≤r≤2

Adamm: 6. F=<x; y; −z> płaszczyzna: s^→(u, v)=<rcosθ; rsinθ; r²> r∊<0;1>, θ∊<0;2π> s_r^→=<cosθ; sinθ; 2r> s_θ^→=<−rsinθ; rcosθ; 0> s_r^→xs_θ^→=<−2r²cosθ; −2r²sinθ; r> z>0 więc wektor prostopadły jest do góry, więc ok F^→•(r_v^→xr_u^→)=−3r³ ∫₀^2π∫₀¹−3r³drdθ=−3π/2 jak masz odpowiedź to mógłbyś potwierdzić wynik

Adamm: s^→(r, θ) oczywiście

Adamm: no i tam miało być F^→•(s_r^→xs_θ^→)

jc: Spójrz tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/356032.html Strumień możesz liczyć całkując wyznacznik | A B C | | δx/δs δy/δs δz/δs | | δx/δt δy/δt δz/δt | s, t parametry, F=(A,B,C) pole To jest to samo, co pisze Adam, tylko inaczej zapisane.

Metis: Jutro ... polegnę.

jc: Masz kilka schematów. 0. Całka potrójna. Autorzy kombinują z obszarami. Rób rysunki. 1. całka niezorientowana krzywoliniowa ∫ f(x,y,z) √(x')² + (y')² + (z')² dt Jak każą liczyć długość, liczysz ∫ √(x')² + (y')² + (z')² dt Najważniejsze dobrze sparametryzować linię. Potem starannie rachować. 2. Całka nieorientowana powierzchniowa. ∫∫ f(x,y,z) |iloczyn wektorowy| ds dt Jeśli liczysz pole pomijasz f(x,y,z). Jeśli jako parametry weźmiesz x i y, to będziesz miał ∫∫ f(x,y,z) √1+(δz/δx)² + (δz/δy)² dx dy 3. Całka krzywoliniowa zorientowana ∫(Adx +Bdy+Cdz). Podstawiasz i liczysz. Czasem dobrze jest zauważyć, że Adx +Bdy+Cdz = df Wtedy całka = f(koniec) − f(początek). Czasem można wykorzystać wzór Greena (W dwóch wymiarach), ale tylko wtedy, gdy liczysz po zamkniętej drodze. 4. Całka powierzchniowa zorientowana. ∫∫ (Adydz + Bdzdx+ Cdxdy). Ja proponuję wzór z wyznacznikiem. Jeśli powierzchnia jest brzegiem pwenego obszaru można przejść do całki potrójnej ∫∫∫(δA/δx + δB/δy + δC/δz) dxdydz LIcz starannie! Niczym zaczniesz pisać przeczytaj wszystkie zadania i nad każdym pomyśl kilka minut. A jak się nie uda, znajdziesz się w większy gronie (pokazywałeś statystyki).

jc: O której masz egzamin? Jutro już nie myśl o matematyce.

Metis: Dziękuję jc, tutaj w domu jakoś sobie z Nimi radzę, po tym co napisałeś ty i Adam, ale pomagam sobie Wolframem, mam dostęp do sieci i sprawdzam. W I terminie zaliczyło ten niemiłosierny kurs, który teraz jest likwidowany 15 osób na 270 +. Z czego i tak część to podstawione osoby. Teraz będzie podobnie.

Metis: O 7:00 lub 8:00

Adamm: 3. są też przypadki w których można zastosować twierdzenie Green'a, gdy w obszarze masz dziurę np. pierścień 4. co do całki potrójnej nazwa tego tw. to tw. Ostrogradskiego−Gaussa

jc: Tak Adammie, te dziury to najciekawsza sprawa, ale jutro studenci tego raczej nie zobaczą. W elektryczności czasem wszystko mieści się w dziurach i liniach (ładunki punktowe, cienkie przewody z prądem).