całka powierzchniowa qwerty: Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną ∫∫_∑ x dydz + y dzdx − z dxdy ,gdzie ∑ jest górną stroną płata z= √x²+y² ,x²+y² ≤4 Obliczyć pole płata wyciętego z powierzchni z=1+x²+y² przez walec x²+y²=1 Mam 2 zadania i nie wiem czy mogę z nich zastosować wzór Ostrogradskiego−Gaussa Wiem że wzór można stosować do zamkniętych powierzchni i niby treść zadania drugiego na to by wskazywała ale walec który ogranicza tą paraboloidę nie ma "pokrywki" na górze więc nie wiem co zrobić W pierwszym chyba ta sama sytuacja?

jc: 0 ≤ r ≤ 2 x = r cos α y = r sin α z = r | x y −z| | x_r y_r z_r| | x_α y_α z_α| = | r cos α r sin α −r| | cos α sin α 1| | −r sin α r cos α 0| = −2 r² całka = ∫∫ (−2) r² dr dα = −4π 2³/3 = −32 π/3 Jak Ci się znak nie podoba, to zmień na przeciwny. Możesz zastosować twierdzenie, ale musisz zamknąć stożek denkiem. Niestety całka po denku raczej nie jest zerem.

jc: W drugim zadaniu liczysz pole. Tu nie stosuje się twierdzenia Gaussa.

qwerty: w zadaniu 2 mam do czynienia z powierzchniową niezorientowaną? nie mogę znaleźć podobnego zadania w książce

qwerty: no i jeszcze pytanie do pierwszego jeśli bym to policzył z tego twierdzenia Gaussa to żeby wynik był ok wystarczy odjąć od wyniku pole tego koła pokrywki?

jc: Czy liczyłeś długości krzywych? To podobna sprawa.

jc: Tak, należy odjąć, ale nie pole, tylko całkę.

qwerty: a co by miało być funkcją do całkowania ? no bo obszarem by był okrąg walca

qwerty: i pytanie do drugiego znowu czy chodzi o ten wzór?

	dz		dz
S= ∫D∫ √1+(		)2 + (		)2
	dx		dy

jc: Jedynka. Pole = ∫∫ | (δx/δs, δy/δs, δz/δs) x (δx/δt, δy/δt, δz/δt) | ds dt s, t = parametry w zadaniu (x,y,z) = (r cos α, r sin α, 1+r²), 0≤α≤2π, 0≤0≤1. Możesz też przyjąć jako parametry x,y, a dopiero potem przejść do współrzędnych biegunowych. Wtedy do obliczenia będziesz miła całkę ∫∫ √1 +(δz/dx)² + (δz/δy)² dx dy

jc: Tak, właśnie o ten wzór chodzi. Podstawiaj i przechodź do biegunowych.