Porownanie wspolczynnikow 5-latek: Znajdz takie liczby calkowite b,c,m,p i q aby dla kazdego x zachodzila rownosc x⁵+x+1= (x²+bx+c)(x³+mx²+px+q) (x²+bx+c)(x³+mx²+px+q)= x⁵+mx⁴+px³+qx²+bx⁴+bmx³+bpx²+bqx+cx³+cmx²+cpx+cq= x⁵+(m+b)x⁴+(p+bm+c)x³+(q+bp+cm)x²+(cp+bq)x+cq Mamy uklad rownan {m+p=0 {p+bm+c=0 {q+bp+cm=0 {cp+bq=1 {cq=1 jak sie za niego zabrac ?

jc: Jeśli z³ = 1, z≠1, to z⁵+z+1 = z²+z+1 = 0, a więc x⁵+x+1 dzieli się bez reszty przez x²+x+1. Podziel i zobaczymy co wyjdzie.

karty do gry : x² + bx + c nie może posiadać pierwiastków rzeczywistych, więc w szczególności c > 0 Przyjmij c = 1 wtedy q = 1 m + b = 0 p + bm + 1 = 0 1 + bp + m = 0 p + b = 1 Przyjmujemy b = 1 stąd m = −1 i p = 0 i widzimy, ze tak dobrana trójka i w konsekwencji piątka spełnia twój układ równań.

jc: (x−1)(x⁵+x+1) = x⁶−x⁵+x²−1 = (x⁶−1) − x²(x³−1) =(x³−1)(x³−x²+1)=(x−1) (x²+x+1)(x³−x²+1)

jc: Ale kombinujecie

karty do gry : Ważne, że wychodzi

5-latek: Zastananwialem sie nad taka rzecza mam cq=1 to wtedy c=−1 i q=−1 lub c=1 i q=1 Teraz mam pytanie dlaczego x²+bx+c nie moze posiadac pierwiastkow rzeczywistych ?

jc: Rozpatrywany wielomian jest funkcją rosnącą, więc ma dokładnie jeden pierwiastek. Jeśli wielomian kwadratowy dzieli nasz wielomian, to wielomian ten nie może mieć pierwiastka rzeczywistego, gdyż wtedy mielibyśmy co najmniej trzy pierwiastki rzeczywiste. Jeśli nie chcesz podglądać, to sam pomnóż swój wielomian przez (x−1), a potem wynik rozłóż na czynniki, ale z x−1 poczekaj.

5-latek: dzieki za wytlumaczenie .

5-latek: Do tego jednak musze dopytac Dlaczego mam pomnozyc przez (x−1) ?

jc: Spójrz na 22:19. A skąd pomysł? Bo znałem czynnik kwadratowy iw spodziewałem się przez co dobrze pomnożyć.

Agata: Na jakim poziomie jest to zadanie?

5-latek: Agatko poziom liceum Zreszta wszyskie zadania ktore tu bede wstawial z wielomianow to ten poziom .

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/forum/355352.html patrz tez tutaj