Dla jakich wartości parametru m (m∊R) równanie K: Dla jakich wartości parametru m (m∊R) równanie x⁴−(m+1)x²+m=0 ma trzy różne rozwiązania? Moje próby rozwiązania zadania: x²=t ≥ 0 t²−(m+1)t+m=0 Δ=m²−2m+1 Δ_m=4−4=0

	2
m0= −		=−1
	2

m∊<0, +∞) Odpowiedź powinna wyglądać tak: m=0 Proszę o pomoc.

po prostu Michał: a gdzie zalozenia?

po prostu Michał: t₁ * t₂ = 0 t₁ + t₂ > 0

Adamm: mamy mieć 3 rozwiązania więc po podstawieniu musisz mieć jedno rozwiązanie =0 a jedno dodatnie ponieważ jedno musi być równe 0, to podstawiając t=0 dostajemy m=0 takie proste

K: Czemu od razu zakładacie, że jedno rozwiązanie musi być =0 a nie na przykład x₁ ma być podwójnym pierwiastkiem oraz x₁≠x₂≠x₃

Adamm: x²=k rozwiąż równanie względem parametru

Adamm: podaj ilość rozwiązań równania **

K: Chwila, mam omówić dla jakich wartości funkcja x²=k przyjmuje ile rozwiązań?

Adamm: tak, źle się wyraziłem

po prostu Michał: po prostu rozwaz k>0, k = 0, k<0 (podstaw dowolna liczbe z kazdego przedzualu i sprawdzaj)

K: 0 rozwiązań dla k∊(−∞, 0) 1 rozwiązanie dla k=0 2 rozwiązania dla k∊(0, +∞)

Adamm: no tak a równanie ma mieć 3 rozwiązania więc jedno musi być =0 a drugie dodatnie i tyle

po prostu Michał: Skrocona wersja (...) x⁴−x²(m+1)= − m x²(x²−(m+1)) = − m 1) m+1 > 0 2) − m = 0 Odp. m = 0

Adamm: Michał, to 23:04 to ja nie wiem skąd wytrzasnąłeś

po prostu Michał: https://matematykaszkolna.pl/forum/235701.html przeczytaj koncowke postu PW

K: Dobrze... widzicie równanie a następnie zamieniacie sobie x² na t, które ∊<0, +∞) bo jest podniesione do kwadratu. Delta nie może być ujemna, ponieważ wtedy nie byłoby rozwiązań to samo z deltą równą zero bo miałbym tylko jedno rozwiązanie. Delta wychodzi mi =0 i wszystko mi się wali bo przecież dopiero co ustaliłem, że musi być dodatnia i nie wiem co dalej z tym robić. A wzory vietea wiem kiedy stosować tylko jak jest podane w treści zadania aby rozwiązania były ujemne, dodatnie bądź o przeciwnych znakach. Tutaj w ogóle nie rozumiem.

Adamm: w sumie to dokładnie to samo co napisałem jeden pierwiastek równy 0, a drugi dodatni

K: w ogóle założenie x² = t ≥ 0 jest poprawne? A nie powinno być na przykład x²= t > 0?

Adamm: a x²≥0 czy x²>0 ? bo z tego co kojarzę, to dla x=0 mamy x²=0

K: no tak, ale już w zadaniu, które zalinkował @po prostu Michał jest założenie x²= t > 0

K: Ahhh, dobra poprawili go tam. Nie zauważyłem.

Adamm: tak, ale widzisz że wredulus go poprawił

po prostu Michał: K jak tak bardzo chcesz delta no to : x⁴ − x²(m+1) + m = 0 podstawiamy t = x² , t ≥ 0 Rownanie 4 stopnia ma 3 pierwiastki jesli z podstawienia tego t wyjdzie nam, ze 1) t₁ = 0 2) t₂ > 0 rozumiesz czemu ? skoro maja byc 4 pierwiastki to jesli oba " t " wyszly dodatnie to bysmy mieli 4 rozwiazania, bo t = x², no a x² daje 2 rozw. dlatego jedno z "t" musi byc rowne zero, bo wtedy t = x² da nam 0. wiec 2 rozwiazania + 1 rozwiazanie = 3 rozwiazania. a to uzyskamy gdy t₁ * t₂ = 0 (bo jeden z tych "t" jest zerem) oraz t₁ + t₂ > 0 (bo ten drugi musi byc dodatni)

Adamm: co do tej delty Δ=(m−1)² pewnie policzyłeś jeszcze drugą, i wyszła zero

K: Dobrze czyli zawsze w zadaniu, gdy trzeba wyznaczyć trzy różne rozwiązania t₁ ma się równać 0 czyli → t₁t₂=0 oraz t₂ i t₃ >0 czyli →t₁+t₂>0

Adamm: jak masz równanie bikwadratowe to tak

AiO: Nie chcialbym CI mieszac ale rownaniew dwukwadratowe mozesz tez rozwiazac bez posdatwien liczysz po prostu delte jak w normalnym rownaniu kwadrtowym i zamiast t liczysz x₁² oraz x₂²

K: No bo jak rozwiązuje przykładowe zadanie: 4 różne rozwiązania dla x⁴+2(m−5)x²+4m²=0 podstawiam za x²= t ≥ 0 Liczę pierwszą delte Δ= −3m²−10m+25>0

	5
Liczę Δm=400 √Δ=20 m1=		m2= −5
	3

	5
m∊(−5,		)
	3

i dotąd potrafie dojść samemu, zdaje mi się, że muszę jeszcze tutaj zastosować wzory vietea ale nie mam pomysłu jak to zrobić. może t₁t₂≥0 bo mam założenie, że t ≥ 0

Adamm: równanie z t ma mieć 2 dodatnie rozwiązania t₁+t₁>0 oraz t₁t₂>0 wystarczy

K: Dobra chyba już łapie. Dzięki za poświęcenie czasu o tak później porze, jeszcze jutro trochę was pomęcze pytaniami z wielomianów. Mam nadzieję, że będzie lepiej.

Adamm: też mam taką nadzieję