Równanie dwu- kwadratowe z parametrem
Danek: Dla jakich wartości parametru m równanie x4−2mx2=m2−4 ma trzyróżne rozwiązania?
5 lut 11:44
Danek: Proszę o pomoc jak to rozpocząć....
5 lut 11:55
J: Na początek zrób podstawienie t = x2 i założenie t > 0
5 lut 12:00
wredulus_pospolitus:
J ... własnie t≥0
bo skoro maja być 3 rozwiązania ... to t1 = 0 ; t2>0 ... wtedy mamy 3 rozwiązania, a nie 4.
5 lut 12:02
Danek: Zrobiłem to a nawet obliczyłem delte : Delta=8m2−16>0, ale co dalej, można napisać m1=−√2 ,
i m2=√2 ...
5 lut 12:07
J: Oczywiście
Moja pomyłka
5 lut 12:09
wredulus_pospolitus:
t
2 − 2mt − (m
2−4) = 0
t
1=0 => t
1*t
2 = 0 => wzory Viete'a
t
2>0 => t
1+t
2 > 0 => wzory Viete'a
5 lut 12:10
Danek: z t1+t2>0 otrzymałem m<0 bo t1 + t2 = −b/a i co z tym dalej zrobić ?
5 lut 12:17
wredulus_pospolitus:
a z t
1*t
2=0 co otrzymałeś
5 lut 12:17
wredulus_pospolitus:
niby dlaczego m<0
napisz mi ile wynosi:
a=...
b=...
c=...
5 lut 12:18
Danek: z t1*t2 = 0 otrzymałem m1=−2 i m2=2 ...
a z t1 + t2>0 otrzymałem mm> 2 ( przepraszam za pomyłkę moją )
5 lut 12:25
wredulus_pospolitus:
m>0
więc ostatecznie m = 2
i koniec zadania ... możesz podstawić i sprawdzić czy faktycznie będą dokładnie 3 rozwiązania
5 lut 12:26
Danek: Uważam, że odpowiedź powinna być dla m=2
czy to prawda ?
5 lut 12:27
Danek: Dziękuję bardzo, wszystko w porządku
!
W jednym czasie daliśmy tą samą odpowiedź − jeszcze raz dziękuję za wyjaśnienie rozwiązywania
tego typu zadań.
5 lut 12:30
PW: Najważniejsze to zdać sobie sprawę, że wielomian czwartego stopnia może mieć:
0 pierwiastków (gdy jest iloczynem dwóch trójmianów nierozkładalnych)
2 pierwiastki różne albo jeden pierwiastek podwójny (gdy jest iloczynem trójmianu rozkładalnego
i nierozkładalnego)
4 różne pierwiastki gdy ma rozkład (x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)
1 pierwiastek poczwórny, gdy ma rozkład (x−x1)4
2 pierwiastki podwójne gdy ma rozkład (x−x1)2(x−x2)2
1 pierwiastek potrójny i drugi inny, gdy ma rozkład (x−x1)3(x−x2)
1 pierwiastek podwójny i dwa inne, gdy ma rozkład W(x) = (x−x1)2(x−x2)x−x3)
W tym ostatnim wypadku powiemy, że równanie
W(x) = 0
ma trzy różne rozwiązania x1, x2 i x3.
Nasze równanie
x4 − 2mx2 − (m2−4) = 0
jest tzw. równaniem dwukwadratowym, po podstawieniu t = x2 ≥ 0 widzimy
t2 −2mt − (m2−4) = 0.
Wyróżnik Δ = (−2m)2 − 4(m2−4) = 16 jest dodatni, więc dla wszystkich m przedstawimy lewą
stronę jako iloczyn
(t−t1)(t−t2) = 0
czyli
(1) (x2−t1)(x2−t2) = 0.
Naszym zadaniem jest tak dobrać m, aby oba czynniki w (1) były trójmianami, z których jeden ma
pierwiastek podwójny x1, a drugi − dwa różne pierwiastki x2,x3 − różne od x1.
Zauważmy, że (x2−t1) albo (x2−t2) może mieć pierwiastek podwójny tylko wtedy, gdy jest
postaci x2 − tylko wtedy ma pierwiastek podwójny. Jedna z liczb t1,t2 musi być więc zerem,
a druga musi być dodatnia.
Gdyby tak nie było, to wielomian po lewej stronie (1) miałby rozkład
(x−√t1)(x+√t1)(x−√t2)(x+√t2),
a więc miałby cztery różne pierwiastki albo (w przypadku t1<0 lub t2<0) miałby mniej niż trzy
pierwiastki.
Wniosek: Badane równanie ma trzy różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy ma postać
x2(x2 − t) = 0, t>0,
a ponieważ ma postać
x2(x2 − 2m) = m2−4,
musi być:
a) m2 − 4 = 0
i
b) −2m >0
Układ a) i b) daje odpowiedź: m = −2.
5 lut 12:47
PW: Tfu, w ostatnim momencie skiksowałem:
b) 2m > 0, a więc m>0.
Odpowiedź: m = 2.
5 lut 12:50
wredulus_pospolitus:
5 lut 12:53
Danek: Dziękuję bardzo za obszerny opis tego zagadnienia i chciałbym mieć taiego nauczyciela. Dziękuję
!
5 lut 13:00
Adi: Bardzo fajnie rozpisane zadanie, jednak chciałabym zwrócić tylko uwagę na to, że jest błąd w
momencie liczenia delty,
Δ=(−2m)
2+4(m
2−4)=8m
2−16
W związku z tym po prostu trzeba zrobić założenie, że Δ>0 (z czego wychodzi, że
m∊(−
∞;−
√2)∪(
√2;
∞) i dalej robić to zadanko, reszta wg mnie jest ok
9 lut 22:13