grupa abelowa WKZ: zbadać, czy zespół (X,*)− jest grupą abelową jeśli: a)X=ℛ ∀_a,b∊ℛ: a*b=ab−a−b+1 b)X=ℛ ∀_a,b∊ℛ: a*b=a+2b c)X={f : ℛ→ℛ | ∀x∊ℛ : f(x)=ax+b, a,b∊ℛ} ∀f,g∊X : ∀x∊ℛ (f*g)(x) :=(f^og)(x)=f(g(x))

WKZ: czy w podpunkcie a) jest spełniona łączność?

po prostu Michał: https://matematykaszkolna.pl/forum/209437.html

po prostu Michał: a) jest wewnetrzne...uzasadnij tam bedzie laczne, takze luz sprawdz element odwrotny i neutralny..

WKZ: jakoś nie przemawia to do mnie mógłby ktoś rozpisać podpunkt a) ?

Pytający: a) Łączność nie zachodzi: (a*b)*c=(ab−a−b+1)*c=(ab−a−b+1)c−(ab−a−b+1)−c+1=abc−ab−ac−bc+a+b a*(b*c)=a*(bc−b−c+1)=a(bc−b−c+1)−a−(bc−b−c+1)+1=abc−ab−ac−bc+b+c ⇒ (a*b)*c≠a*(b*c)

po prostu Michał: a) mamy działanie a*b = ab − a − b + 1 oraz znajdujemy sie w zbiorze liczb ℛ 1) czy dzialanie jest wewnetrzne a ∊ ℛ oraz b ∊ ℛ, działania mnożenia, dodawania i odejmowania w zbiorze liczb rzeczywistych są wewnętrzne, zatem działanie a*b = ab−a−b+1 jest działaniem wewnętrznym. 2) czy dzialanie jest laczne tzn. czy a*(b*c) = (a*b)*c L = a*(b*c) = a*(bc−b−c+1) = a(bc−b−c+1) − a − (bc−b−c+1) + 1 = = abc − ab − ac + a − a − bc + b + c − 1 + 1 = abc − ab − ac − bc + b + c P = (a*b)*c = (ab−a−b+1)*c = (ab−a−b+1)c − (ab−a−b+1) − c + 1 = = abc − ac − bc + c − ab + a + b − 1 − c + 1 = abc − ab − ac − bc + a + b L ≠ P dzialanie nie jest wewnetrzne zatem to nie jest grupa. ciekawe, wyszlo ze nie jest...

po prostu Michał: tam oczywiście wyżej L ≠ P zatem działanie nie jest łączne. b) a*b = a + 2b oraz a i b ∊ ℛ 1) czy działanie jest wewnętrzne a ∊ ℛ oraz b ∊ ℛ, działania dodawania i mnożenia przez stałą są działaniami wewnętrznymi w zbiorze liczb rzeczywistych, zatem działanie a*b = a+2b jest działaniem wewnętrznym. 2) czy działanie jest łączne tzn. czy a*(b*c) = (a*b)*c L = a*(b+2c) = a+2(b+2c) = a + 2b + 4c P = (a+2b)*c = a + 2b + 2c L ≠ P działanie nie jest łączne, zatem nie jest to grupa (tymbardziej nie jest abelowa).