optymalizacja wojtek: wykaz ze jezeli x+y=6 to x⁴+y⁴ ≥162 to jest zadanie za 7pkt na maturze

Adamm: zrobił to niedawno Kacper dla x≠0, y≠0 z nierówności między średnimi

	x4+y4		|x|+|y|		x+y
(		)1/4≥		≥		=3 ⇒ x4+y4≥162
	2		2		2

nierówność zachodzi również gdy x=0 lub y=0 co można sprawdzić bezpośrednio

wojtek: a jakoś prościej? bo nie rozumiem tego zapisu robiłem to tak ze y=6−x i wyiczalem dalej

Adamm: możesz tak zrobić policz pochodną

wojtek: w tym zadaniu mam udowodnić x⁴+y⁴ ma byc większe lub równe od 162 to y przyrownuje do x, wymnazam i licze pochodą funckje minumum lokalnego?

Adamm: wyznaczasz minimum lokalne, i argumentujesz że jest to również minimum globalne

Alky: Takie zadanie za 7 pkt ? Dostać coś takiego to jak wygrać życie. Jeśli nie rozumiesz tego zapisu to może zrozumiesz ten Ety https://matematykaszkolna.pl/forum/348020.html dosyć prosto wytlumaczone, tylko uprzednio zapoznaj sie z nierównościami (w tym przypadku miedzy średnia potegowa, a arytmetyczna)

Adamm: tak, tylko nierówności między średnimi są dla liczb dodatnich, taka argumentacja jest zła

jc: Wypukłość, ale o tym uczniowie nie chcą słyszeć.

x4+y4		x+y
	≥ (		)4 ≥ 81
2		2

Można w dwóch krokach.

x2+y2		x+y
	≥ (		)2
2		2

x4+y4		x2+y2
	≥ (		)2
2		2

To akurat jest łatwe do sprawdzenia.

Alky: Hm, no rozumiem, że tylko dla dodatnich, ale czy jeśli w tym przypadku prawą strone równości (ze sr arytmetycznej) mamy podaną z góry, a po lewej obie liczby są w parzystej potędze to coś zmienia ? Chyba i tak zachodzi dla x R

Alky: nierówności*

Adamm: Alky, skoro są tylko dla dodatnich, to chyba do czegoś zobowiązuje, co nie? nie obchodzi mnie czy zachodzi dla ℛ, jak się na to powołujesz, to powinieneś wiedzieć z czym masz do czynienia

Adamm: twierdzenie mówi jasno, z twierdzenia to nie wynika kropka

Adamm: nie wynika, ale oczywiście bezpośrednio

wojtek: ale to nie jest poziom rozszerzonej matury, tylko prędzej studiów, bo nigdy nie słyszałem o czymś taki jak średnia potęgowa

Krzysiek: hej wszystkim

Alky: No dobra, czilu rozumiem, że jeśli zrobiłbym to w ten sposób to raczej maxa bym nie dostał ( o ile w ogóle miałbym zaliczone ). Poczytam sobie później coś więcej o wypuklosci, bo ostatnio coraz częściej cos tu widuje z wypukłości. Ostatecznie pochodna i minimum w tym zadaniu, ale to i tak chyba nie jest zadanie na 7 pkt

Adamm: ok, nadaje średnią potęgowym rangę "matura rozszerzona" i na mocy nadanej mi władzy, to jest poziom matury rozszerzonej

Alky: Wojtek w podreczniku do klas 2 szkoły średniej jest Srednia Kwadratowa, a srednia kwadratowa to srednia potegowa stopnia 2

Adamm: proszę nie argumentować jaki to jest "poziom" dno totalne

jc: Powyżej masz szkolny rachunek.

	x2+y2		x+y
Spróbuj wykazać nierówność		≥ (		)2.
	2		2

Nierówność ta oznacza, że środek odcinka łączącego dwa punkty paraboli leży powyżej wykresu paraboli.

Mila: Jeżeli masz problem ze średnimi to może tak: Wykaż, ze jeżeli x+y=6 to x⁴+y⁴ ≥162 x, y=6−x iloczyn składników jest funkcja kwadratową: f(x)=x*(6−x) x_w=3, y_max=9⇔x*y≤9 (x+y)²=36 x²+y²=36−2*(x*y)≥36−18 x²+y²≥18 /² x⁴+2*(xy)²+y⁴≥324 x⁴+y⁴≥324−2*9² x⁴+y⁴≥324−162 x⁴+y⁴≥162 cnw ==========

Alky: Czyli ostatecznie mozna w tym zadaniu zastosować nierówność miedzy srednimi, czy nie ? Rzeczywiscie nie mamy tu tylko liczb dodatnich, ale juz kilka osób proponowało tę metodę.

Adamm: kilka czyli ile? ja zastosowałem poprawnie jeśli o mnie mówisz, założyłem że x≠0 oraz y≠0 i nie zastosowałem ich dla x oraz y ale dla |x| oraz |y| inni ich nie zastosowali, no chyba że Eta którą podlinkowałeś

Adamm: trochę dziwne by było zresztą, gdybym argumentował przeciwko używaniu średnich, skoro sam ich użyłem można, nie chodziło o samo użycie, ale o sposób w jaki się to robi

Alky: Wliczyłem też Kacpra ktory jesli dobrze pamiętam dzis tego uzyl, choć może tez miał jakieś założenia, nie sprawdzilem teraz bo jestem na telefonie i mam sredni internet więc chwilę by to zajęło, no i Mila powiedziała, że "jeśli masz problem ze średnimi to można tak" , co by wskazywalo na to ,że mozna tu. użyć srednich

Adamm: Alky chłopie, ogarnij się napisałem że można Kacper nigdzie nie pisał że użył średnich, nierówność jest prawdziwa tak czy siak, ale ze średnich ona nie wynika, nie bezpośrednio

Adamm: gdyby napisał "ze średnich potęgowych" czy coś w tym rodzaju, to bym się do tego przyczepił, ale tak nie było

Alky: Okej. Teraz klarownie. Dzieki za cierpliwość.