ekstrema wojtek: wykaż ze jezeli x+y=6 to x⁴+y⁴≥162 y=6−x mam pytanie powyższe już wykazałem, bo wyszło po podstawieniu i dalszych przekształceniach, że jest tylko jedno miejsce zero =3 potem dałem f(3) do tego x⁴+(6−x)⁴ i obliczyłem i wyszlo 164 i to jest dobrze ale jeśli treść by była "zbadaj" i np y=4−x i było by więcej miejsc zerowych np x=2 i x=3 (nie wiem czy faktycznie by tak było nie liczyłem) i jakby f(2)<162 ale f(3) >162 to jaką odpowiedź mam dać? że twierdzenie jest prawdziwe dla x∊<3;∞) ? czy jak? mam nadzieje że rozumiecie o co mi chodzi

Kacper:

	x4+y4		x+y
(		)1/4≥		≥3
	2		2

	x4+y4
Zatem		≥81, czyli x4+y4≥162 c.n.w.
	2

Adamm: Kacper, jesteś pewny?

relaa:

	x + y
... ≥		= 3
	2

Adamm: ok, jednak jest ok ale trzeba jakoś tą nierówność uzasadnić, każdy sobie może napisać

Kacper: Dzięki relaa tak to w automacie się pisze

Mariusz: To jest nierówność czwartego stopnia i powiązane z nią równanie można jeszcze rozwiązać używając funkcji elementarnych z tym że Metoda algebraiczna wymaga znajomości liczb zespolonych Rozwiązanie równania czwartego stopnia będzie prawdopodobnie wymagało rozwiązania równania trzeciego stopnia O ile rezygnując z wymogu korzystania z metody algebraicznej możesz uniknąć korzystania z liczb zespolonych to rozwiązania równania trzeciego stopnia możesz uniknąć tylko w pewnych szczególnych przypadkach np równanie dwukwadratowe , zwrotne , o pierwiastkach wielokrotnych, gdy jest widoczny jakiś wzór skróconego mnożenia Jeśli chodzi o sposoby na równanie czwartego stopnia to możesz Rozłożyć wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych a) używając współczynników nieoznaczonych Gdy zdecydujemy się na użycie współczynników nieoznaczonych warto najpierw usunąć wyraz z x³ podstawieniem bądź używając schematu Hornera oraz wydzielić przypadek równania kwadratowego b) sprowadzając wielomian najpierw do postaci różnicy kwadratów Grupujemy wielomian w dwa nawiasy Wielomian w nawiasie z wyrazami x⁴ oraz x³ sprowadzamy do kwadratu korzystając z wzorów skróconego mnożenia , wielomian w pozostałym nawiasie jest trójmianem kwadratowym więc możemy go sprowadzić do kwadratu porównując jego wyróżnik do zera Podstawieniami sprowadzić do wzorów Vieta dla równania o stopień niższego Użyć funkcji symetrycznych

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/352121.html

jc: x=3+u y=3−u x⁴ + y⁴ = (u+3)⁴ + (u−3)² = 2u⁴ + 12*9 u² + 162 ≥ 162