Wyznacz sumę n początkowych wyrazów ciągu (1, 11, 111, ...). moniq: Wyznacz sumę n początkowych wyrazów ciągu (1, 11, 111, ...). Zrobillam czesc tzn rozpisalam ze wzoru ale nie mam pojecia skad sie bierzze to dalsze przeksztacenie.. pomoże ktos

moniq: https://matematykaszkolna.pl/forum/52597.html skad to przeksztalcenie Nie wiem o co chodzi od trzeciej linijki od konca..

Adamm: S₁=1 S_n=S_n−1+10ⁿ⁻¹+10ⁿ⁻²+...+1

	10n−1
Sn=Sn−1+
	9

"rozwijając" mamy

	1
Sn=		*(1+10+102+103+...+10n−(n+1))=
	9

	1		10n+1−1		10n+1−10−9n
=		*(		−(n+1))=
	9		9		81

	10n−1−9n
Sn−1=
	81

	10n−1−9n		10n−1		10n+1−10−9n
Sn=		+		=
	81		9		81

zatem wzór jest poprawny

	10n+1−10−9n
Sn=
	81

moniq: W piątej linijce dlaczego mamy ( n+1) skąd się wzięło to n

Adamm: "rozwinąłem" całe wyrażenie

	10n−1
Sn=Sn−1+
	9

ponieważ mamy tutaj jedynkę to musiałem odjąć dokładnie n żeby dodać jeszcze 1 na początek, zabrałem zamiast tego n+1

moniq: Rozumiem co robimy z tą jedynka ale nie widzę tego n... Widzę je tylko w potędze... Dlaczego mam je odejmować

jc:

	1
1+11+111+1111+11111 =		(9 + 99 + 999 + 9999 + 99999)=
	9

	1
=		(1−1 + 10−1 + 100−1 + 1000−1 + 10000−1 + 100000−1)=
	9

	1		1		6		1		6
=		(111111 − 6) =		999999 −		=		(1000000 − 1)−
	9		81		9		81		9

	10n+1 −1		n+1
ogólnie =		−
	81		9

Teraz zauważyłem, że Addam napisał prawie to samo.

Kot: Na jakim poziomie jest to zadanie? To mogloby być na matmie r?

Mariusz: a₀=1 a_n=10a_n−1+1 ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞10a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞xⁿ

	x
∑n=1∞anxn=10x∑n=1∞an−1xn−1+
	1−x

	x
∑n=0∞anxn−1=10x∑n=0∞anxn+
	1−x

	x
(1−10x)∑n=0∞anxn=1+
	1−x

	1−x+x
(1−10x)A(x)=
	1−x

	1		1	10(1−x)−(1−10x)
A(x)=		=
	(1−10x)(1−x)		9	(1−10x)(1−x)

	1		10		1
A(x)=		(		−		)
	9		1−10x		1−x

	1
an=		(10*10n−1)
	9

	1
Funkcja tworząca ciągu sum częściowych to		A(x)
	1−x

	1
S(x)=
	(1−10x)(1−x)2

Adam: Kot na poziomie "myślący"

Adam: chyba zacznę dzielić zadania na rangi

Kacper: Zadanie z jednego ze zbirów, ale na maturę rozszerzoną za trudne, bo zbyt mało osób by je zrobiło

Mariusz: A to nie było to zadanie z dyskretnej ?

Kacper: *zbiorów