,.,.,. Pełcio: Siemanko 1. Wykaż, że jeżeli boki i promień okręgu wpisanego w trójkąt mają całkowite długości, to obwód trójkąta jest liczbą parzystą. 2. Znaleźć najmniejszą liczbę k o tej własności, że wśród dowolnych k różnych liczb całkowitych można wskazać dwie, których różnica sześcianów jest podzielna przez 9. 3. Wykaż, że stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest nie mniejszy niż 2 i równość zachodzi tylko dla trójkąta równobocznego. 4. Wykaż, że na czworokącie opisanym na kole można opisać koło wtedy i tylko wtedy, gdy cięciwy łączące punkty styczności przeciwległych boków czworokąta z kołem są prostopadłe. 5. Mamy liczby: a≠0, b≠0, c≠0 spełniające warunki:

a

b

c

a

c

b

+

+

=k oraz

+

+

=l.

b

c

a

c

b

a

	a3		b3		c3
Wyznaczyć za pomocą k i l sumę		+		+		.
	b3		c3		a3

(trzeba podnosić do potęgi 3 obydwa czy istnieje inny sposób ) Dzięki za każdą podpowiedź .

relaa: Zaraz idę, ale co do 5 to

a3		b3		c3
	+		+		=
b3		c3		a3

	a		b		c
(		+		+		)3 −
	b		c		a

a

b

c

a

c

b

3(

+

+

)(

+

+

) + 3.

b

c

a

c

b

a

Podobne zadanie robiłeś, gdzie był wzór x³ + y³ + z³ = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − xz) + 3xyz.

Adamm: 2. a₁, a₂, ..., a_k mamy takie a_i oraz a_j że 9|a_i³−a_j³ weźmy jakieś a a³=(3n)³=27n³ a³=(3n+1)³=27n³+27n²+9n+1 a³=(3n+2)³=27n³+54n²+36n+8 zatem a³ daje możliwe reszty 0, 1, 8 z dzielenia przez 9 9|a_i³−a_j³ wtedy i tylko wtedy jeśli a_i oraz a_j dają takie same reszty z dzielenia przez 3 zatem największa taka liczba to k=4, bo tylko wtedy zawsze znajdzie się 2 takie same reszty z dzielenia przez 3

Adamm: największa taka najmniejsza

Pełcio: Oo, rzeczywiście relaa, dziękuję. Dzięki Adamm, rozumiem. Jak to zobaczyłem to myślałem, że to zasada szufladkowa Dirichleta, ale jednak niekoniecznie.

Adamm: "bo tylko wtedy zawsze znajdzie się 2 takie same reszty z dzielenia przez 3" a jednak, zasada szufladkowa się znalazła

Pełcio: znaczy, no w sumie tak

Rafal: Trzecie znajdziesz tu: https://matematykaszkolna.pl/forum/332198.html

Pełcio: relaa coś robię źlę, nie dochodzę do takiej postaci jak napisałeś. Którego wzoru użyłeś? Dzięki Rafal, fajne

Pełcio: Ok, już wiem [P[relaa]