Dowód Lubięliczyć: x⁴−2x³−2x²+9>0 Udowodnij dla x⊂R

Kacper: x⁴−2x³−2x²+9=(x−2)²(x²+2x+2)+1≥1>0 c.n.u

Jerzy: Można też udowodnić rachunkiem różniczkowym: 1) Granice w +∞ i w − ∞ 2) Minima lokalne dodatnie.

Alky: https://matematykaszkolna.pl/forum/350086.html

Alky: Kacper tak swoją drogą co do Twojego rozwiązania. Ja robiąc to (chyba) tak jak Ty (bo ta 9 aż się prosi na rozłożenie na 8 +1, a potem coś ze wzorami skróconego skrócenia czy grupowaniem wyrażeń) przebrnąłem przez x⁴−2x³−2x²+9>0 x⁴−2x³−2x²+8+1>0 x³(x−2)−2(x²−4)+1>0 (x−2)(x³−2x−4)+1>0 Teraz widząc, że (x³−2x−4) ma pierwiastek x=2 Horner i z tego dopiero ostatecznie dostałem (x−2)²(x²+2x+2)+1>0 Pytanie, czy można sobie to było jakoś fajnie pogrupować na początku, żeby bez liczenia dostać tą ostateczną postać, czy też przeszedłeś przez wielomian (x³−2x−4) ?

Rafal: Można też rozważyć pomnożenie tej nierówności stronami przez 2 (co jest dość często spotykanym zabiegiem). Mamy wówczas: 2x⁴−4x³−4x²+18>0 (x⁴−4x³+4x²)+(x⁴−8x²+16)+2>0 (x²−2x)²+(x²−4)²+2>0

Mariusz: {Aby sprowadzić wielomian do postaci iloczynu dwóch trójmianów grupujemy wyrazy w dwa nawiasy w pierwszym mamy wyrazy z x⁴ oraz x³ a w drugim trójmian kwadratowy Wielomian w nawiasie z wyrazami x⁴ oraz x³ uzupełniamy do kwadratu korzystając z wzorów skróconego mnożenia natomiast trójmian kwadratowy sprowadzamy do kwadratu korzystając z wyróżnika Trójmian kwadratowy jest kwadratem gdy jego wyróżnik jest równy zero Gdy policzysz wyróżnik od razu może okazać się że nie jest on równy zero trzeba więc wprowadzić nową niewiadomą aby uzależnić od niej wartość wyróżnika Nową niewiadomą wprowadzasz tak aby wielomian w nawiasie z wyrazami x⁴ oraz x³ nadal był kwadratem − znowu korzystasz z wzorów skróconego mnożenia} x⁴−2x³−2x²+9 x⁴−2x³+x²−3x²+9 (x²−x)²−(3x²−9)

	y		y2
(x2−x+		)2−((y+3)x2−yx+		−9)
	2		4

Δ=0

	y2
4(		−9)(y+3)−y2=0
	4

(y²−36)(y+3)−y²=0 (y³+3y²−36y−108)−y²=0 y³+2y²−36y−108=0 1 2 −36 −108 −2/3 1 4/3 −332/9 −2252/27 −2/3 1 2/3 −112/3 −2/3 1 0 1 Z ostatniego dzielenia otrzymujemy 0 reszty 1 Reszty tych dzieleń to współczynniki rozkładu na sumę potęg dwumianu

	2		112		2		2252
(y+		)3−		(y+		)−
	3		3		3		27

	2
z=y+
	3

	112		2252
z3−		z−		=0
	3		27

z=u+v

	112		2252
(u+v)3−		(u+v)−		=0
	3		27

	112		2252
u3+v3+3u2v+3uv2−		(u+v)−		=0
	3		27

	2252		112
u3+v3−		+3uv(u+v)−		(u+v)=0
	27		3

	2252		112
u3+v3−		+(u+v)(3uv−		)=0 {u+v=z dlatego wybieram ten drugi czynnik}
	27		3

	2252
u3+v3−		=0
	27

	112
3uv−		=0
	3

	2252
u3+v3=
	27

	112
uv=
	9

	2252
u3+v3=
	27

	1404928
u3v3=
	729

Ten układ równań to wzory Viete

	2252		1404928
t2−		t+		=0
	27		729

	1126		137052
(t−		)2+		=0
	27		729

	1126−√137052i		1126+√137052i
(t−		)(t−		)=0
	27		27

	1
y=		(3√1126−√137052i+3√1126+√137052i−2)
	3

	2		√137052   arctan( )   1126
y=		(4√7cos(		)−1)
	3		3

Teraz wielomian czwartego stopnia powinien być zapisany w postaci różnicy kwadratów Po skorzystaniu z wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

	y		y2
(x2−x+		)2−((y+3)x2−yx+		−9)
	2		4

	y		y
(x2−x+		)2−(√y+3)2(x−		)2
	2		2(y+3)

	y		y
(x2−x+		)2−(√y+3x−		)2
	2		2√y+3

	y		y		y		y
(x2−(1−√y+3)x+		−		)(x2−(1+√y+3)x+		+		)
	2		2√y+3		2		2√y+3

Teraz sprawdzamy wyróżniki tych trójmianów kwadratowych