Całki Soqo:

	dz
∫
	1+x4

∫e^−axsinbxdx

Mariusz: dz ? w takim razie nie powinna sprawiać problemu Tutaj przez części Możesz wziąć zarówno du=e^−axdx v=sinbx

	1
u=−		e−ax dv=bcosbx
	a

jak i du=sinbxdx v=e^−ax

	1
u=−		cosbx dv=−ae−axdx
	b

ale zdecyduj się na jeden i w następnym całkowaniu przez części użyj tego samego doboru części

Soqo: no tak, ale to e^−ax mi się nie zredukuje, ani cosbx też nie dojdzie do żadnej postaci z elementarnych wzorów.

karty do gry: http://matematykadlastudenta.pl/strona/288.html

Soqo: https://imgur.com/rxYJu2x Zrobiłem to w taki sposób i dalej nie widzę sposobu aby wyjść z całki z sinbx oraz e^−ax.

karty do gry: Przecałkuj jeszcze raz przez części. Potem przerzuc otrzymaną całkę na lewą stronę i podziel przez 2.

Mariusz: Całkowałeś przez części tylko raz Spróbuj całkować drugi raz używając tego samego doboru części (wybrałeś do całkowania funkcję wykładniczą a do różniczkowania funkcję trygonometryczną )

Mariusz: karty z grubsza tak będzie tyle że zamiast dwójki będzie tam stały współczynnik

Soqo: https://imgur.com/AmGmBB0 Uzyskałem coś takiego, moglibyście rzucić okiem czy jest rozwiązane dobrze ?

Mariusz: Nie widzę błędów

Soqo: Ogółem to mam do rozwiązania całkę niewłaściwą, a problem miałem z całką nieoznaczoną. Tutaj całe zadanie. Jeżeli mógłby ktoś sprawdzić czy wszsystko wyszło jak należy. Na początek policzyłem całkę nieoznaczoną, później całkę oznaczoną, a dopiero na końcu granicę. https://imgur.com/SBpjTIg

Soqo: A tutaj bardzo podobny przykład− prawie ten sam. Te same granice całkowania, jedynie sinbx zamieniony na cosbx. Czy ktoś mógłby sprawdzić również ten przykład ? Nadal czekam na komentarz do 1wszego przykładu.https://imgur.com/eQusNKA

Soqo:

Soqo:

Soqo:

jc: Jedno całkowanie, dwie całki od razu.

	e(a+bi)x
∫ eax cos bx dx + i ∫ eax sin bx dx = ∫ e(a+bi)x dx =		=
	a+bi

	(cos bx + i sin bx)(a−bi)
= eax		=
	a2+b2

	a cos bx + b sin bx		a sin bx − b cos bx
eax		+ i eax
	a2+b2		a2+b2

Mała prośba, stawiajcie spacje. sinhx = sin hx, czy sinh x?

Soqo: sin(bx) oraz cos(bx), gdzie b to jakaś stała

Soqo: A czy mógłbyś sprawdzić czy dobrze rozwiązałem obydwa zadania ? W sensie czy granica również się zgadza ?

Mariusz: Co do pierwszej całki to na pewno masz dz ? Jeśli masz dx to rozkładasz na sumę ułamków prostych 1+x⁴=(1−√2x+x²)(1+√2x+x²) 2√2x=(1+√2x+x²)−(1−√2x+x²) 2+2x²=(1+√2x+x²)+(1−√2x+x²) 4+4x²=2(1−√2x+x²)+2(1+√2x+x²) −4x²=√2x(1−√2x+x²)−√2x(1+√2x+x²) 4=(2+√2x)(1−√2x+x²)+(2−√2x)(1+√2x+x²)

4		2+√2x		2−√2x
	=		+
1+x4		1+√2x+x2		1−√2x+x2

Soqo: dx tam jest oczywiście. A jak wygląda sprawa z dwiema z e^−ax ? Są one dobrze rozwiązane ?

Mariusz: ... i zespolone a jeśli chcą rzeczywistymi albo całkowaniem przez części to mogą nie zaliczyć

jc: Mariusz, po to zespolone, aby pomagać. Soqo, e^−ax →0, jeśli a > 0 i x → ∞ Pozostałe czynniki są ograniczone. e⁰ = 1, cos 0 = 1, sin 0 = 0. Uwzględnij to i będziesz miał wynik lub spójrz do wiki na hasło transformata Laplace'a. W moim rachunku trzeba zamienić a na −a.

	e(−a+bi)x		1		a+bi
= [		]0∞ =		=
	−a+bi		a−bi		a2+b2

Soqo: Ale przed nawiasem w liczinku mamy nieskonczonosc, w liczniku w nawiasie ∞(sinbx...) czyli całość powinna dążyć do ∞, a mianownik niczego nam nie zmieni gdyż są to stałe.

Mariusz: Jak chcesz od razu dwie całki dostać to licz w ten sposób

	1		b
∫e−axsin(bx)dx=−		e−axsin(bx)+		∫e−axcos(bx)dx
	a		a

	1		a
∫e−axsin(bx)dx=−		e−axcos(bx)−		∫e−axcos(bx)dx
	b		b

i masz układ równań z którego możesz obliczyć obydwie całki Pierwsze równanie otrzymujesz całkując funkcję wykładniczą i różniczkując trygonometryczną Drugie równanie otrzymujesz całkując funkcję trygonometryczną i różniczkując wykładniczą

jc: Pisz spacje po sinusie! a > 0, x →∞ e^−ax sin bx →0 e^−ax cos bx →0

Soqo: Rzeczywiście masz rację. Czyli wszystko jest dobrze w obydwu przypadkach, oprócz granicy końcowej ? Zaraz będę jeszcze próbował dokładnie określić tę granicę.

Soqo: Mariusz dzięki za sposób, może kiedyś oszczędzi trochę czasu.

Mariusz: Jeszcze niedawno było tak że całkowanie zostawili w średniej (jak ja chodziłem to było w technikach) a zespolone z średniej zdążyli wywalić Co do transformaty Laplace to ta całka będzie przydatna ale wątpię czy miał ją wprowadzoną i czy mu ją uznają Gdy możemy używać zespolonych to pomysł jest dość szybki

Mariusz: Czyżbyście liczyli te same całki https://matematykaszkolna.pl/forum/348979.html

Soqo: Są to przykłady z książki Włodarskiego więc być może

Mariusz: Nieoznaczone z Włodarskiego policzył Szemek z matematyka.pl Za oznaczone jednak się nie zabrał

Soqo: Teraz mam oznaczone, więc nieoznaczone liczę jedynie, aby później oszacować je na granicach całkowania.

Mariusz: Jeżeli skorzystasz z tego co napisał jc drugą całkę będziesz miał policzoną Co do pierwszej całki to rozkład na sumę ułamków prostych podałem o 20:45

Soqo: Dziękuję bardzo.

Mariusz: Aby wygodniej ci było policzyć nieoznaczoną sprowadź te trójmiany kwadratowe w mianownikach do postaci kanonicznej Tak z ciekawości akceptują u was rozwiązania z zespolonymi ? Jeśli tak to sposób jc jest trochę szybszy

Mariusz: Skoro już jesteśmy przy zespolonych to możesz spojrzeć https://www.matematyka.pl/79900.htm

Soqo: Nie mieliśmy jeszcze rozwiązań z zespolonymi, ale podejrzewam że zostałyby zaakceptowane.