,., Pełcio: Pytanie Czy do starych tematów mogę dostać się jedynie wtedy, kiedy znam dokładną datę wpisu? Bo chciałem zobaczyć jedno zadanie, które pamiętam że tu dawałem, ale jak wpisuję w wyszukiwarkę to nie szuka, a średnio tak przeglądać to archiwum

Ajtek: Możesz poszukać po nicku.

Pełcio: Niestety, tam jest też do pewnego momentu, całości nie ma.

Mila: Niestety wyszukiwarka kiepsko działa. Może wpisz początek zadania w wyszukiwarke.

Ajtek: No to nie mam pomysłu.

Ajtek: Witaj Mila .

Pełcio: No właśnie Milu tak próbowałem, wyskoczyły jednak zupełnie nie powiązane z tym co chce 2 zadania

Mila: Witaj Ajtek. Pełcio o co chodzi, może ja znajdę.

Pełcio: Już zrobiłem właśnie, ale kurcze szkoda, że nie da się tego znaleźć, bo różne fajne zadanka tam miałem Ale Milu możesz spróbować, zobaczymy może u Ciebie znajdzie, np. Wykaż, że jeżeli a,b,c są takimi liczbami nieujemnymi, że a+b+c=1, to

a		b		c		3
	+		+		≤
a+1		b+1		c+1		4

jestem na 98% pewny że kiedyś to tutaj poszło

Metis: 342118

Pełcio: Jak to zrobiłeś czarodzieju?

Metis:

relaa: Można spróbować przez Google. https://www.google.pl/?gws_rd=ssl#q=Pe%C5%82cio+site:matematyka.pisz.pl&start=0&*

Pełcio: Rzeczywiście, tak działa, dzięki! Pozdrawiam wszystkich

relaa: Kolejne.

a + b		b + c		a + c
	+		+		≥ 6
c		a		b

Mila:

Pełcio:

1
	+x≥2
x

więc

a		b
	+		≥2
b		a

a		c
	+		≥2
c		a

b		c
	+		≥2
c		b

dodając stronami:

a+b		b+c		a+c
	+		+		≥6
c		a		b

relaa: Oczywiście a, b, c > 0.

Pełcio: a no właśnie

relaa: a, b, c > 0 oraz a + b + c = 1 √2a + 1 + √2b + 1 + √2c + 1 ≤ √15

Krzysiek: Z jensena, f(x)=√2x+1

relaa: Jasne, ale Pełcio średnio rozumie nierówność Jensena. Kolejne, jak coś można będzie jeszcze czegoś poszukać. Dla a, b > 0 i a² + b² = 1 wykazać, że a³ + b³ ≥ √2ab.

	a3 + b6
Dla a, b > 0 wykazać		≥ 3ab2 − 4.
	2

Dla n, m ∊ N udowodnić _{i = 1} ∑ ⁿ (2i − 1)^m ≥ n^{m + 1}.

Pełcio: no, w końcu.. A≤K

√2a+1+√2b+1+√2c+1		√2a+12+√2b+12+√2c+12
	≤√
3		3

do kwadratu i mamy

√2a+1+√2b+1+√2c+1		5
	≤ √
3		3

	5
√2a+1+√2b+1+√2c+1≤√		*9
	3

√2a+1+√2b+1+√2c+1≤ √15

Pełcio: Na dziś tyle, jutro popróbuję, dziękuję i dobranoc

Krzysiek: relaa, 1 z ciągów jednomonotonicznych

Adam:

	∑(2i−1)m		∑(2j−1)
(		)1/m≥		=n
	n		n

przekształcając dostajemy żądaną nierówność

Krzysiek: 1 z Czebyszewa

Mariusz: Jeśli chcesz skorzystać z wyszukiwarki Google to możesz spróbować w ten sposób Wpisujesz swoje pytanie i dopisujesz site:matematyka.pisz.pl/forum

Pełcio: Mariusz no właśnie tak zadziałało relaa próbuję już dosyć długo i nic nie mogę zdziałać..

relaa: Z którym masz problem?

Pełcio: Żadne mi nie wyszło Zacznijmy od pierwszego. Myślałem że będzie K≥A, ale albo coś źle przekształcam albo to nie tak, próbowałem też pare innych opcji ale nie wychodzi nic.

Pełcio: Przepraszam, K≥G.

Pełcio:

	a6+b6
√		≤ √a3b3
	2

a6+b6
	≤ a3b3
2

a⁶+b⁶≤ 2a³b³ (a³+b³)²−2a³b³≤ 2a³b³ (a³+b³)²≤ 4a³b³

relaa: Zaprezentuj jak robisz.

relaa: Które to jest?

Pełcio: a3 + b3 ≥ √2ab <−−−−− to chcemy ale po coś jest też dane a²+b²=1, więc to tak nie może być

relaa: Spróbuj kwadratową i geometryczną dla liczb a oraz b.

Pełcio:

	a2+b2
√		≥√ab
	2

a2+b2
	≥ ab
2

1
	≥ ab
2

relaa: Dalej

1
	≥ √2ab.
√2

Dodatkowo wykorzystaj teraz nierówność między średnią potęgową rzędu 3 ze średnią kwadratową (potęgowa rzędu 2).

Pełcio:

	a3+b3		a2+b2
3√		≥√
	2		2

	a3+b3		1
3√		≥		≥ √2ab
	2		√2

	a3+b3
3√		≥√2ab i z tego wynika, że
	2

a³+b³≥ √2ab

relaa:

3√a3 + b3		√a2 + b2		1
	≥		=
3√2		√2		√2

a3 + b3		1
	≥
2		2√2

	1
a3 + b3 ≥		.
	√2

Pełcio: Ano, ładniej a tak się zastanawiam, czy jak by zostało tak jak ja mam to jest to dobre rozwiązanie? Czy zabraliby za to punkty? no bo jeśli ³√x≥ czegoś to tym bardziej x≥ czegoś

Pełcio: ok, bzdura, nieważne

relaa: Miałem nawet dać Ci przykład jak bardzo się mylisz, ale że sam doszedłeś do tego, że to bzdura to w porządku.

Krzysiek: Z Czebyszewa też wychodzi

Pełcio: Czy do tego 2 nie ma żadnych założeń oprócz a,b>0?

Pełcio: Pewnie tak Krzysiek, ale ja próbuję bardziej elementarnymi sposobami

relaa: Tylko a, b > 0.

Adamm:

a3+b6+8
	≥3√a3*b6*8/23
2*3

skąd

a3+b6
	≥3ab2−4
2

Adamm: równość zachodzi tylko gdy a=2, b=√2

Pełcio: Adamm chwila, dla jakich to liczb jest?

Adamm: dodatnich oczywiście

Pełcio: Znaczy chodzi mi o to, dla jakich liczb są to średnie. dlaczego w mianowniku po prawej stronie jest 2*3?

Adamm: a³/2, b⁶/2, 4

Adamm: teraz moje zadanie znaleźć wszystkie funkcje ciągłe spełniające dla każdego x, y f(x+y)=f(x)+f(y) ∧ f(xy)=f(x)f(y)

Pełcio: O kurcze, niezłe to, ale ciężko na to wpaść Funkcje? Spróbuję, ale takich rzeczy nie mam poćwiczonych raczej

Adamm: łatwo na to wpaść bo relaa podsyła niestety tylko zadania ze średnimi potęgowymi

Adamm: oczywiście x, y∊ℛ

Krzysiek: f(x)=x i f(x)=0

relaa: Adamm podsyłam, bo Pełcio dopytywał o nie i chciałem żeby wreszcie i sobie przyswoił.

Adamm: skoro Pełcio dopytywał to ok po prostu myślałem nad większą różnorodnością, bo konkretne zadania są strasznie przewidywalne

Pełcio: Dziękuję relaa, na pewno te zadanka coś dadzą Adamm niestety, nie umiem tego zrobić

Adamm: powiedz z czym masz problem, spróbuję ci pomóc

Pełcio: No dla nie są takie przewidywalne Znaczy wiadomo, że chodzi o średnie, ale nie zawsze jeszcze umiem ją dobrze zbudować. Co do Twojego Adamm to tak f(x)+f(y)= f(x)f(y) f(x)= f(x)f(y)− f(y) f(x)= f(y)[f(x)−1] może to głupoty, bo nie wiem w sumie nawet jak to zacząć

Adamm: czemu przyrównałeś oba wyrażenia? nie są one takie same xy≠x+y pierwsza rzecz jaką powinieneś zrobić to pobawić się chwilę z tym równaniem spróbuj poeksperymentować

Pełcio: no to widać że na pewno jedna musi być =0, ale co więcej to nie wiem

Pełcio: znaczy może być* równa zero i wtedy działa

Krzysiek: f(x)=ax spełnia pierwsze równanie axy=a²xy a=0 lub a=1 Czyli mamy dwie funkcje które spełniają oba równania: f(x)=x i f(x)=0

Pełcio: axy=a2xy, ale skąd się to wzięło?

Krzysiek: Podstawiając do drugiego równania

Adamm: podstawił f(x)=ax to drugiego wzoru Krzysiek zna pewną zależność, ale nie jest ona potrzebna, próbuj

Pełcio: nie wiem jednak dlaczego, nie powinno być a²x²y²?

jc: Nie musimy zakładać ciągłości. f(1) f(1)=f(1), a więc f(1)=0 lub f(1)=1. f(x)=f(x)f(1) Jeśli f(1) = 0, to f(x)=0. f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0 f(x+(−x)) = f(0)=0 f(x+(−x)) = f(x) + f(−x) f(−x) = −f(x) Dalej rozważamy przypadek f(1)=1. f(n)=n f(m (n/m) ) = m f(n/m) f(m (n/m) ) = f(n) = n f(n/m) = (m/n) Zatem f(r) = r dla wymiernych r. f(t²) = f(t)² ≥ 0, czyli dla x ≥ 0, f(x) ≥ 0. A stąd wynika, że jeśli x≥y, to f(x) ≥f(y). Mamy bowiem f(x−y) ≥ 0, czyli f(x) ≥ f(y). Załóżmy, że dla pewnego x, f(x) > x. Wtedy f(x) > r > x dla pewnej liczby wymiernej r. Stąd r = f(r) > f(x) i mamy sprzeczność. Podobnie w przypadku f(x)<x. Pozostaje więc f(x)=x, co jak łatwo sprawdzić jest rozwiązaniem.

Adamm:

Adamm: Dobry Wieczór

Pełcio: No ładnie Adamm jaką zależność miałeś na myśli? może łatwiej będzie ją zrozumieć niż robić to bez niej?