Indukcja Qto: Udowodnij indukcyjnie, że:

1		1		1		1		1		1		1		1
	+		+...+		=1−		+		−		+...+		−		dla n ∈ N.
n+1		n+2		2n		2		3		4		2n−1		2n

Pytający: Myślę, że to powinno Cię naprowadzić: https://matematykaszkolna.pl/forum/348198.html

Qto: Niestety nie potrafię tego tutaj zastosować.

Pytający: Oznaczmy dla uproszczenia zapisu: L(n) − lewa strona równania dla n P(n) − prawa strona równania dla n

	1		1		1
L(n)=		+		+...+
	n+1		n+2		2n

	1		1		1		1		1
P(n)=1−		+		−		+...+		−
	2		3		4		2n−1		2n

Mamy udowodnić, że L(n)=P(n). Baza indukcyjna: dla n=1 mamy:

	1
L(1)=
	2

	1
P(1)=1−
	2

Faktycznie równanie L(1)=P(1) jest spełnione. Założenie indukcyjne: L(n)=P(n) Krok indukcyjny:

	1		1		1
L(n+1)=		+		+...+		=
	(n+1)+1		(n+1)+2		2(n+1)

	1		1		1
=		+		+...+		=
	n+2		n+3		2n+2

1

1

1

1

1

1

1

=−

+

+

+

+...+

+

+

=

n+1

n+1

n+2

n+3

2n

2n+1

2n+2

	1		1		1
=−		+L(n)+		+		=
	n+1		2n+1		2n+2

	1		1		2
=L(n)+		+		−		=
	2n+1		2n+2		2n+2

	1		1
=L(n)+		−		= // z założenia indukcyjnego L(n)=P(n)
	2n+1		2n+2

	1		1
=P(n)+		−		=
	2n+1		2n+2

	1		1		1		1		1		1		1
=1−		+		−		+...+		−		+		−		=
	2		3		4		2n−1		2n		2n+1		2n+2

	1		1		1		1		1		1		1
=1−		+		−		+...+		−		+		−		=
	2		3		4		2(n+1)−3		2(n+1)−2		2(n+1)−1		2(n+1)

=P(n+1) Zatem na mocy założenia indukcyjnego... bla, bla, bla − koniec dowodu.

Qto: Dzięki wielkie