ciągi maturzystkam: Oblicz sumę pięćdziesięciu najmniejszych dodatnich rozwiązań równania: 2sin⁴x=3sin²x−1 jestem na takim etapie: 2sin⁴x−3sin²x+1=0 sin²x=t t∊<0,1> 2t²−3t+1=0 Δ=1 √Δ=1

	1
t1=		t2=1
	2

	1
sin2=		sin2=1
	2

	√2		√2
sinx=−		sinx=		sinx=−1 sinx=1
	2		2

narysowałam wykres i widzę rozwiązania ale nie wiem jak wyznaczyć i policzyć sume

Jack: https://matematykaszkolna.pl/strona/1578.html

maturzystkam: nadal nie wiem co i jak

Jack:

	√2
sinx =
	2

	π
np. dla x =
	4

	π		π
jako ze w przedziale od 0 do		jest symetryczny do przedzialu		do π
	2		2

to

	√2
sinx =
	2

	π		π
dla x =		+ 2kπ lub x = π −		+ 2kπ
	4		4

	π		3
x =		+ 2kπ lub x =		π + 2kπ
	4		4

(dodajemy 2kπ bo sinus jest okresowy co 2π) nastepnie

	√2
sinx = −
	2

	√2		π
dla x = (teraz skoro bylo, ze jest		dla		to jak spojrzysz na wykres sinusa, to
	2		4

	3		3
jest ujemny w przedziale od π do		π i potem od		π do 2π (w tym przedziale tez jest
	2		2

symetryczny) zatem

	√2
sinx = −
	2

dla

	π		π
x = π +		+ 2kπ lub x = 2π −		+ 2kπ
	4		4

	5		7
x =		π + 2kπ lub x =		π + 2kπ
	4		4

nastepnie

	π
sinx = 1 dla x =		+ 2kπ (mozna latwo odczytac z wykresu)
	2

	3
sinx = −1 dla x =		π + 2kπ (rowniez mozna latwo odczytac)
	2

zatem nasze rozwiazania to

	π
x =		+ 2kπ lub
	4

	3
x =		π + 2kπ lub
	4

	5
x =		π + 2kπ lub
	4

	7
x =		π + 2kπ lub
	4

	π
x =		+ 2kπ lub
	2

	3
x =		π + 2kπ
	2

Teraz pytanie, czy mozna te rozwiazania jakos "schowac" w mniej rozwiazan? oczywiscie mozna jesli zaznaczymy pierwsze 4 rozwiazania na osi, przyjmujac ze k=0

	2
to widzimy ze odleglosc miedzy sasiadujacymi jest		π
	4

	π		2		3
bo		+		π =		π
	4		4		4

2		3		5
	π +		π =		π itd
4		4		4

	7
teraz, ostatnie rozw. to		π, sprawdzmy czy odleglosc miedzy kolejnym znowu bedzie
	4

2
	π
4

czyli podstawiamy za k=1, dla pierwszego rozw. i otrzymujemy

	π		9
x =		+ 2*1*π =		π zatem sie zgadza
	4		4

czyli te pierwsze 4 rozwiazania mozna schowac do jednego :

	π		2
x =		(biore dowolny z tych czterech) +		π * k
	4		4

	π		π
x =		+ k *
	4		2

teraz ostatnie dwa.

	π		3
mamy na zmiane		,		π
	2		2

	2π
one sie powtarzaja co		czyli co π
	2

i tak beda sie caly czas powtarzac, zatem te 2 rozw. chowamy do

	π
x =		+ k * π
	2

zatem rozwiazania to :

	π		π		π
x =		+ k *		lub x =		+ k * π
	4		2		2

(Oczywiscie jak nie chcesz chowac, to mozesz podstawiac do tamtych rozwiazan liczby i sumowac, ale wg mnie tak bedzie latwiej)

maturzystkam: o jejku dziękuję bardzo