Oblicz całkę nieoznaczoną MaTTe: Oblicz całkę nieoznaczoną: a) ∫√x²+4x dx Z podstawienia Eulera otrzymałem, że:

	t2
x=
	4+2t

	t2+4t
√x2+4x=
	4+2t

	2t2+8t
dx=		dt
	(4+2t)2

Ale nie wiem co z tym dalej zrobić. Mógłby to ktoś do końca rozpisać?

Jack: podstawienie √x²+4x = t − x x² + 4x = t² − 2tx + x² 2tx +4x = t² x(2t+4) = t²

	t2
x =
	4+2t

	2t(4+2t) − 2t2		2t2 + 8t
dx =		dt =		dt
	(4+2t)2		(4+2t)2

	t2		4t + 2t2 − t2		t2 + 4t
√x2+4x = t −		=		=
	4+2t		4+2t		4+2t

no i teraz calkujemy.

	t2 + 4t		2t2 + 8t
∫		*		dt
	4+2t		(4+2t)2

jc: x = t + 1/t − 2 x²+4x = (t−1/t)² ∫ = ∫(t−1/t)(1−1/t²) dt = t²/2 −2 ln t − t⁻² /2 t² − (2+x)t + 1 = 0 t = ( 2+x +√x²+4x )/2

MaTTe: Jack, podstawienie zrobiłem już sam. Mam problem właśnie z dalszą częścią całkowania.

jc: MaTTe, masz policzoną całkę (trzecia linia). Wstaw tylko t wyznaczone w ostatniej linii w miejsce x.

jc: Wynik po podstawieniu: ( 2+x +√x²+4x )² /8 − 2 ln ( 2+x +√x²+4x ) − 2 / ( 2+x +√x²+4x )²

Jack: jc skad pomysl na takie podstawienie?

jc: Staramy się pozbyć pierwiastka. Wzór skróconego mnożenia daje nam równość (t + 1/t)² − 4 = (t−1/t)² x²+4x=(x+2)²−4 x+2 =t+1/t

Jack: no prosze... a to ciekawe

Jack: https://matematykaszkolna.pl/forum/340256.html jakie podstawienie bys tutaj zaproponowal?

jc: Liczyłbym tak, jak w zacytowanej odpowiedzi na forum (gdybym potrzebował dla siebie, poprosiłbym komputer o odpowiedź; komputer to na prawdę świetne narzędzie). −−−−− Jak pozbyć się pierwiastka? Masz trzy przypadk (po sprowadzeniu do postaci kanonicznej): x² + 1, x² − 1, 1 − x² Masz wzory, które podpowiadają podstawienie sh² u + 1 = ch² u, ch² u − 1 = sh² u, 1 − sin² u = cos² u Możesz do tego dodać 1+tg² u = 1/cos² u. W każdym wypadku możesz podstawiać funkcje wymierne (kolejno): x=(1/2) (t −1/t), x=(1/2)(t+1/t), x = 2t / (1+t²) Wszystkie podstawienia wymierne (jak również to, które sam zastosowałeś) mają proste źródło geometryczne (znane od czasów Pitagorasa). Ja jednak wolę patrzyć na to, jak na zastosowanie wzoru na kwadrat sumy.

Jack: czytam i niby rozumiem, ale nie wiem jak to zastosowac. co do hiperbolicznych to poki co srednio umiem je wykorzystac, wiec wolalbym np. jedynke tryg. cos² u = 1 − sin² u jednak jak to wykorzystac w ∫√x²+a²dx? x²+a² = (x+a)² − 2ax

	1		1   2
podstawienie x+a = t −		ani x+a = t −
	t		t

chyba nam duzo nie pomoze?

jc: Od razu masz postać kanoniczną. Możesz podstawić x = a sh u lub x = (a/2) (t − 1/t).

jc: Jak chcesz funkcje podstawiać funkcje trygonometryczne, to możesz podstawić x=a tg u.

	d sin u		ds
∫ = a ∫ 1/cos3 u du = a ∫		= a ∫
	(1−sin2 u)2		(1−s2)2

Zwróć uwagę, że te dwa kolejne podstawienia podpowiadają jedno podstawienie wymierne. Jakie?

Jack: Wymiernych jeszcze nie ogarnialem ze tak powiem... Teraz musze leciec ale na pewno wroce jeszcze dzisiaj do tematu. Interesuje mnie raczej podstawenie 11:20 numer dwa.

MaTTe: jc, ciężko byłoby wpaść na takie podstawienia.

	t2+4t		2t2+8t
Mógłbyś przedstawić pełne rozwiązanie całki ∫		*		dt?
	4+2t		(4+2t)2

Z tego co się orientuję trzeba tutaj zastosować rozkład na ułamki proste.

Adamm:

	1		(t2+4t)2−t(2+t)3		1		2t3+4t2−8t
=		∫		+t dt =		∫		+t dt =
	4		(2+t)3		4		(2+t)3

	1		−8t2−32t−16
=		∫		+2+t dt
	4		(2+t)3

−8t2−32t−16		A		B		C
	=		+		+
(2+t)3		2+t		(2+t)2		(2+t)3

−8t²−32t−16=At²+4At+4A+Bt+2B+C A=−8 4A+B=−32, B=0 −32+C=−16, C=16

1		−8t2−32t−16		1		−8		16
	∫		+2+t dt=		∫		+		+2+t dt=
4		(2+t)3		4		2+t		(2+t)3

	1		1
=		(−8ln(2+t)−8		+2t+t2/2)+c =
	4		(2+t)2

	2		x+√x2+4x		(x+√x2+4x)2
= −2ln|2+x+√x2+4x|−		+		+		+c
	(2+x+√x2+4x)2		2		8

jc: Tyle pracy, a można było tak, jak pokazałem o 22:27. Całka do policzenia w pamięci.

	1
x = t +		− 2
	t

	1		1		t2		1
∫ = ∫(t−		)(1−		) dt =		−2 ln t −
	t		t2		2		2t2

	2+x +√x2+4x
t =
	2

Jack: jc skad wiesz ze

	1		1
∫(t−		)(1−		) dt = ... ?
	t		t2

Nie trzeba tego najpierw wymnozyc?

azeta: to proste mnożenie, więc jc napisał, że do policzenia w pamięci

Jack: dla niego to wszystko w pamieci , wystarczy sobie wyobrazic ja takiej glowy nie mam

jc: Jack, masz rację, ale można to zrobić w pamięci.

Jack: ok to mam pytanie do postu 11:20 x = (a/2) (t − 1/t) <−−skad takie podstawienie?

jc: Zapomniałem wcisnąć "wyślij" no i listy się rozminęły. Są miejsca, gdzie nie polecam działań w pamięci. Tu może też lepiej było dopisać wynik mnożenia.

jc: Wzory skróconego mnożenia (kwadrat różnicy i kwadrat sumy). (a−b)² + 4ab = (a+b)², w szczególności (t − 1/t)² + 4 = (t + 1/t)².

Jack: znam te wzory. ale tego nie widze

Adamm: chcesz mieć (t−1/t)²+4=(t+1/t)² więc podstawiasz żeby mieć tą postać pod √x²+a², musisz zlikwidować a² żeby mieć 4,

	a
czyli podstawiasz x=(1−1/t)		, wtedy masz po prostu
	2

	a
√(1−1/t)2(a2/4)+a2 =		√(t+1/t)2
	2

nie wiem czy rozumiesz, to nie jest dobre tłumaczenie

Adamm: tam zamiast (1−1/t) miało być (t−1/t)

Jack: oki, dobra, widze to, ale to ciezko na to wpasc : D

Mariusz: Podstawienia Eulera też są trzy ale wystarczy zapamiętać dwa Poza tym prowadzą do całki z funkcji wymiernej a tę już wiadomo jak liczyć 1. Przypadek gdy a>0 Stosujemy podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax 2. Przypadek gdy a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym wypadku trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Jest jeszcze jedno podstawienie które czasem może dawać całkę wymagającą mniej obliczeń Stosujesz je gdy wyraz wolny trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem jest dodatni √ax²+bx+c=xt+√c Jack poczytaj o geometrycznej interpretacji tych podstawień np u Fichtenholza (oryginał po rosyjsku) to może się dowiesz skąd te podstawienia się wzięły Fichtenholz po całkowaniu funkcji wymiernej przechodzi do całkowania różniczki dwumiennej i podstawień Eulera W oryginalnej wersji masz to na stronie 59.

Jack: No tak, ale podstawienia Eulera czasem sa naprawde dlugie, a z podstawienia tego co jc zaproponowal jest duzo szybciej.

jc: Wróciłbym do całki ∫√1+x² dx. W jednym z wpisów zasugerowałem, że złożenie dwóch podstawień daje podstawienie wymierne. Myliłem się. Ale i tak jest ciekawie.

	s
x =
	√1−s2

	x
s =
	√1+x2

dx = (1−s²)^−3/2 ds

	ds
∫√1+x2 dx = ∫
	(1−s2)2