algebra_metis Metis: Algebra 1) Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia P(x)= x⁴+x³+x²+x+1 przez Q(x)=x²−1 R(x)− szukana reszta z dzielenia Ponieważ dzielimy przez wielomian stopnia 2 , to R(x) będzie stopnia co najwyżej pierwszego, mamy zatem: P(x)= Q(x)*W(x) + R(x), gdzie W(x) jest pewnym wielomianem, (x−1)(x+1)*W(x)+ax+b= P(x) Liczę P(1) i P(−1) P(1)=1+1+1+1+1=5 P(−1)=1−1+1−1+1=1 Stąd: a+b=5 −a+b=1 2b=6 a=5−a a=2 b=3 Nasz R(x)=2x+3 Gdzie tutaj element algebry wyższej?

Saizou : Tutaj chodzi o to aby robić to świadomie, dlaczego możesz zapisać P(x)=Q(x)*W(x)+R(x) dlaczego można dzielić wielomian przez wielomian itp.

Metis: Jak wyznaczamy argument liczby zespolnej z? Dla przykładu: (√3−i)³2. |z|=√√3²+1=2

	√3
cosδ=
	2

	π
Więc δ=
	6

	11π
A w przykładzie podany argument z=
	6

Adamm: ale cosX nie jest różnowartościowy w przedziale <0;2π)

Adamm:

	√3
są 2 takie wartości w przedziale x∊<0;2π) dla których cosx=		, dlatego ważne jest w
	2

której ćwiartce się znajdujemy

Metis: Znajdujemy się w 4

Mila:

	π		√3
cos(		)=
	6		2

	π		√3
cos(−		)=
	6		2

argument

	π		11π
φ=2π−		=
	6		6

Metis: Zapomniałem o tym, dziękuje

Jack: (√3−i)³² = ? (√3−i)³ = ... = − 8i (√3−i)³² = [(√3−i)³]¹⁰ * (√3−i)² = = (−8i)¹⁰ * (√3−i)² = 8¹⁰ * i¹⁰ * (3 − 2√3i − 1) = = 8¹⁰ * (i²)⁵ * (2 − 2√3i) = 8¹⁰ * (−1) * (2 − 2√3i) = 8¹⁰ * (2√3i − 2) = = 2³⁰ * 2(√3i −1) = 2³¹√3i − 2³¹

Metis: Wyznaczyć i narysować zbiór pierwiastków ³√1−i)⁶ |z|=√2

	1		√2
cosδ=		=
	√2		2

	π
δ=2π−
	4

	7π
δ=
	4

n=3 k=0,1,2

	δ+2kπ
I później zastować wzór na pierwiastki zk=n√|z|(cos		+ isin... )
	n

Metis: Jest ?

Jack: a sinusa nie liczysz ?

gość: https://matematykaszkolna.pl/forum/338903.html

Metis: Ktoś potwierdzi?

Metis: Oblicz wyznacznik: | 1 2 3 4 | | −1 0 3 4| |−1 −2 0 4| |−1 −2 −3 0| | 1 2 3 4 |0 2 6 8| |0 0 3 8 | | 0 0 0 0| = 1*(−1)¹⁺¹*... | 2 3 4 | | 2 6 8 | |0 3 8| ?

Jack: wg mnie szybciej : ³√(1−i)⁶ jednym z rozwiazan rownania na pewno jest (1−i)² = 1 − 2i − 1 = −2i to jest jeden pierwiastek (z 3 jakie istnieja) zatem ω₀ = − 2i pozostale pierwiastki to

	2π		2π
ω1 = ω0 * (cos		+ i sin		)
	n		n

	2π		2π
ω2 = ω1 * (cos		+ i sin		)
	n		n

gdzie n to stopien pierwiastka czyli 3.

Jack: co do wyznacznika. druga macierz ( z tych 3 co napisales) to w ostatniej kolumnie , w ostatnim wierszu ma 4 czyli mamy |1 2 3 4| |0 2 6 8| |0 0 3 8| |0 0 0 4| no i wtedy z rozw. Laplace'a wykreslamy pierwsza kolumne i pierwszy wiersz. i otrzymujemy 1 * (−1)¹⁺¹ * |2 6 8| |0 3 8| |0 0 4|

Jack: jednakze, na glownej przekatnej mamy liczby a pod nia same zera wiec jest to macierz gornotrojkatna. wyznacznik takiej macierzyz to iloczyn elementow na przekatnej , czyli wyznacznik to po prostu 1*2*3*4 = 24.

Metis: Racja tam zjadłem 4.

Mila: z=³√(1−i)⁶ z₀=(1−i)²=−2i

	2kπ		2kπ
zk=(−2i)*(cos		+i sin		), k∊{1,2}
	3		3

	2π		2π		1		√3
z1=(−2i)*(cos		+i sin		)=(−2i)*(−		+i*		)
	3		3		2		2

z₁=√3+i

	4π		π		1		√3
z2=(−2i)*(cos		+i sin		)=(−2i)*(−		−i*		)
	3		3		2		2

z₂=−√3+i

Metis: Czyli

Metis: Milu a jeśli nie będę mógł odczytać tego pierwszego pierwiastka? wtedy korzystam z tego wzoru: http://prntscr.com/dglr7c

Jack: tak, korzystasz z tego, jest uniwersalny.

Metis: Ale czy wtedy zgadza mi się |z| i reszta?

Mila: Wszystko się zgodzi. Najlepiej będzie, gdy wpiszesz jakiś konkretny przykład.

Metis: Chodzi mi o ten przykład Milu. http://prntscr.com/dglvpe

Mila: Weźmy ten sam przykład: z=³√(1−i)⁶=³√(−2i)³=³√8i |8i|=8

	π
φ=		( odczytuję z rysunku)
	2

	π   +2kπ 2		π   +2kπ 2
zk=3√8*(cos		+i sin		), k∊{0,1,2}
	3		3

	π		π		√3		1
z0=2*(cos		+i sin		)=2*(		+i		)=√3+i
	6		6		2		2

	5π		5π		√3		1
z1=2*(cos		+i sin		)=2*(−		+i		)=−√3+i
	6		6		2		2

	9π		9π		3π		3π
z2=2*(cos		+i sin		)=2*(cos		+i sin		)=2*(0−i )=−2i
	6		6		2		2

Metis: Pięknie . Dziękuje Milu. Teraz już rozumiem

Mila:

Metis: Milu a jak w tym przypadku policzyć φ bez rysunku?

Jack: jak bez rysunku ? jak nie ma ani rownania ani rysunku to sie nie da ; D

Mila: z=³√8i tu chcesz φ obliczyć?

Jack: chyba, ze masz na mysli jak policzyc kat φ bez rysunku? No ja np. zawsze licze bez rysunku, bo jest szybciej (wg mnie) ale jak kto woli, mozna i narysowac. no to do policzenia bez rysunku potrzebujesz sinus i cosinus oraz modul jesli mamy np. 8i no to |z| = √0² + 8² = 8

	0
cos φ =		= 0
	8

	8
sin φ =		= 1
	8

i teraz wg "schemaciku" 1. sprawdzamy znaki przy sin , cos −> widzimy ze oba dodatnie zatem jest to pierwsza cwiartka

	π
2. cosinus przyjmuje 0 dla		(wtedy tez sinus przyjmuje jeden)
	2

	π		π
3. zatem skoro to pierwsza cwiartka to rozwiazanie to		czyli φ =
	2		2

Metis: Jaki będzie moduł z=⁵√(1−i)¹² ?

Jack: w przypadku (1−i) do potegi dowolnej, rozpisujesz najpierw (1−i)² a potem uzupelniasz. w przypadku (√3 ± 1) albo (√3±i) to rozpisujesz do potegi 3. zatem (1−i)² = −2i, czyli (1−i)¹² = ((1−i)²)⁶ = (−2i)⁶ = (−2)⁶ * i⁶ = 64 * (i²)³ = 64(−1)³ = −64

Metis: |z|=√2¹²=64

jc: z=(1+i)/√2 (x − z)(x − z³)(x − z⁵)(x − z⁷) = ?

Jack: jest

Jack: jc Mialbym do Ciebie pytanko, a mianowicie : Czy jest jakis wzor na sume kwadratow rozwiazan rownania zespolonego ? np. mamy jakis wielomian z⁴ + ...z³ + ...z² + ...z + ... = 0 i mamy obliczyc z₁² + z₁² + z₃² + z₄⁴ = ?

jc: z⁴+az³+bz²+cz+d=0 z₁²+z₂²+z₃²+z₄² = (z₁+z₂+z₃+z₄)²−2(z₁z₂+z₁z₃+...+z₃z₄) = a²−2b

Jack: dzieki

afek: NA akademii sztuk pięknych macie w ogóle matme? i warto tracić na to czas, jak już sesja się zbliża? no chyba że lajt i w ogóle