kwadrat mataw69: Udowodnij, że 1...12...25, gdzie jedynek jest 2017 a dwójek jest 2018, jest kwadratem

ICSP: Co do zadania Zauważ, ze twoja liczba moze być zapisana w postaci : 1 + 10 + ... + 10....0 + 1 + 10 + 10...0 + 3 =

	102018 + 5
= ∑k = 04035 10k + ∑k = 02019 10k + 3 = ... = (		)2
	3

Wystarczy pokazać zatem podzielność : 3 | 10²⁰¹⁸ + 5

ICSP: druga suma oczywiście do 2018.

Krzysiek: Nie rozumiem skąd wiadomo że ta suma to właśnie to co napisałeś do kwadratu

ICSP: Którego przejścia nie rozumiesz ?

Krzysiek: 4 linijka

Rafal: To może bez użycia znaków sumy. Rozpatrywana liczba to inaczej 5+2(10+10²+10³+...+10²⁰¹⁸)+(10²⁰¹⁹+10²⁰²⁰+10²⁰²¹+...+10⁴⁰³⁵) (***) Te wyrażenia w nawiasach to sumy początkowych wyrazów pewnych ciągów geometrycznych o ilorazie q=10. Korzystając ze wzoru https://matematykaszkolna.pl/strona/279.html możemy zapisać wyrażenie (***) w zwięzły sposób:

	1−102018		1−102017
5+2*10		+102019		=
	1−10		1−10

−45		20−20*102018		102019−104036
	+		+		=
−9		−9		−9

−45+20−20*102018+10*102018−104036
	=
−9

−104036−10*102018−25
	=
−9

104036+10*102018+25
	=
9

	102018+5
(		)2 (wzory skróconego mnożenia)
	3

Zauważmy, że liczba (10²⁰¹⁸+5) to w zapisie dziesiętnym 1000...005 (2017 zer), czyli suma jej cyfr wynosi 6, a jeśli suma cyfr jakiejś liczby całkowitej dzieli się przez 3, to także i

	102018+5
ta liczba przez 3 jest podzielna. To oznacza, że liczba		należy do zbioru
	3

liczb całkowitych, co kończy dowód.

Kacper: