prawdopodobienstwo kasia: Mam zadanie do którego nie wiem jak się zabrać. Umieszczamy 10 obiektów na trzech miejscach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każde miejsce będzie zajęte przez minimum dwa obiekty?

g: Miejsce A może zawierać 2,3,..,6 obiektów. Jeśli zawiera np. 3, to miejsce B może zawierać 2, 3, ..., 5. Przy takich ograniczeniach miejsce C zawsze będzie zawierać ≥ 2 obiekty.

	10 3
3 obiekty z 10 mogą być wybrane na		sposobów.

|Ω| = 3¹⁰ |A| =

10 2		8 2		8 3		8 4		8 5		8 6
	* (		+		+		+		+		) +

10 3		7 2		7 3		7 4		7 5
	* (		+		+		+		) +

10 4		6 2		6 3		6 4
	* (		+		+		) +

10 5		5 2		5 3
	* (		+		) +

10 6		4 2
	*

Iryt: Zależy jakie są te obiekty , czy różne?

PW: Chyba prościej będzie najpierw w każdym miejscu umieścić po 2 obiekty, a potem pozostałe 4 obiekty już zupełnie dowolnie.

PW: Tak, Iryt ma rację! Jeżeli obiekty są nierozróżnialne, jak piłki tenisowe, to liczbę ich rozmieszczeń można opisac jako liczbę rozwiązań równania 2+x₁ + 2+x₂ + 2+x₃ = 10, xj ∊N, j = 1, 2, 3. Jeżeli obiekty są rozróżnialne, to zadanie jest trudniejsze.

g: No to niech będą nierozróżnialne. Sama liczba rozmieszczeń jeszcze nie załatwia sprawy, bo różne rozmieszczenia zachodzą z różnymi prawdopodobieństwami.

Iryt: Jeśli masz odpowiedź to podaj, wtedy będziemy wiedzieć, czy obiekty są rozróżnialne.

Iryt: 1) obiekty nierozróżnialne 10−3*2=4 x₁+x₂+x₃=4 liczba rozmieszczeń:

4+3−1 3−1		6 2
	=		=15

2) obiekty rozróżnialne: 10−3*2=4 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 Rozkład 10 kul: 10=6+2+2 10=5+3+2 10=4+4+2 10=4+3+3 |Ω|=3¹⁰

	10 6		4 2		2 2		10 5		7 3		2 2
|A|=		*		*		+		*		*		+

	10 4		6 4		2 2		10 4		6 3		3 3
+		*		*		+		*		*

	|A|
P(A)=
	310

PW, proszę o opinię.

kasia: W zadaniu obiekty sa nierozróżnialne

PW: Jeśli tak, to Iryt podała dobry wzór na liczbę rozwiązań równania x₁ + x₂ + x₂ = 4 (xj∊{0, 1, 2, 3, 4}), czyli szukane prawdopodobieństwo jest równe

	15
		,
	|Ω|

gdzie |Ω| jest liczbą rozwiązań równania x₁ + x₂ + x₃ = 10, (xj∊{0, 1, 2, 3, ... ,10}) (liczbą wszystkich możliwych rozmieszczeń 10 kul w 3 pojemnikach). Iryt, czuję się nieswojo, gdy proszą mnie o opinię − jest tu wielu lepszych.

kasia: a jaka bedzie dokładna wartość |Ω|?

PW: Tutaj: 204660 31 maja 2013 r. pokazałem jak wygląda wzór i skąd się bierze (dowód dla 16 piłek wkładanych do 4 pojemników). U nas jest 10 piłek i 3 pojemniki. Jeżeli nie znasz tego wzoru, to warto poczytać.

g: Wzór P = |A| / |Ω| można stosować jedynie wtedy, gdy prawdopodobieństwa poszczególnych zliczanych zdarzeń są jednakowe. Tu tak nie jest, poszczególne rozwiązania czyli zestawy (x₁,x₂,x₃) mają różne prawdopodobieństwa.

kasia: dziękuję bardzo za pomoc!

Mila: Kasiu to LO czy studia? Skąd to zadanie? Sformułowanie nie jest precyzyjne.