liczby rzeczywiste PrzyszlyMakler: 1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁵ − n jest podzielna przez 30. Po rozkładzie n(n−1)(n+1)(n² + 1), n(n−1)(n+1)− trzy kolejne liczby naturalne, więc są podzielne przez 6. I wystarczy założyć, że najmniejsze n to 2, więc n² + 1 = 5 i liczba jest podzielna przez 30? Bo jeżeli n byłoby = 1, to liczba byłaby równa 0, a wczoraj się dowiedziałęm, że 0 jest podzielne przez każdą liczbę oprócz 0. 2. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych nieujemnych, takich, że suma ich iloczynu i ilorazu jest równa 185. Andrzej Kiełbasa zamieścił do tego zadania rozwiązanie, jednak w ogóle, w najmniejszym stopniu go nie rozumiem. Ktoś podejmie się próby wytłumaczenia mi tego zadania?

Yeti: zad2/ https://matematykaszkolna.pl/forum/301260.html Wpis Eta

zombi: W tym dowodzie wykorzystuje się triczek z dopisaniem czegoś i odjęciem czegoś. n⁵−n = n(n⁴−1) = n(n²+1)(n²−1) = n(n²−4 + 5)(n²−1) = n = n(n²−4)(n²−1) + 5n(n²−1) Jeden z tych czynników rozkłada się do postaci (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) − oczywiście podzielny przez 2, 3 i 5 bo to iloczyn 5 kolejnych liczb Czynnik 5n(n²−1) − również podzielny przez 30, bo n(n²−1) jest podzielne przez 6, całość pomnożona jeszcze razy 5.

PrzyszlyMakler: @Yeti, dziękuję. Ten wpis Ety jest super. @zombi.. n(n²−4 + 5)(n² − 1) = n Jakim prawem.. Nic nie rozumiem..

Yeti: n²+1=( n²−4)+5= (n−2)(n+2)+5 to L=n(n−1)(n+1)(n²+1)=n(n−1)(n+1)*[(n−2)(n+2)+5]=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5*n(n−1)(n+1)=30k, k∊C c.n.w tylko dopisz odpowiedni komentarz....................

omikron: Ja bym to zrobił inaczej. Rozważyłbym 5 przypadków pod względem podzielności przez 5. Posłużę się do tego jakąś liczbą k: 1) n=5k n jest podzielne przez 5 2) n=5k+1 n−1 podzielne przez 5 3) n=5k−1 n+1 podzielne przez 5 4) n=5k+2 n²+1=25k²+20k+4+1=5(5k²+4k+1) Podzielne przez 5 5) n=5k+3 Też podstaw do n²+1 i wyjdzie Skoro dla 5 przypadków kolejnych liczb występuje podzielność przez 5, to ten iloczyn jest zawsze podzielny przez 5

Yeti:

6latek: Co do wpisu 12:25 to analizujac go zombiemu nie zmiescil sie zapis w calej linijce i przeniosl go do drugiej i zapomnial to n z 1 linijki skasowac (tak mysle

piotr: zad 2

	185
dla ciągu an =		znaleźć wszystkie wartości całkowite
	n+1/n

wystarczy szukać do n=185: n 1 92,5 2 74 ← 3 55,5 4 43,52941176 5 35,57692308 6 30 ← 7 25,9 8 22,76923077 9 20,30487805 10 18,31683168 11 16,68032787 12 15,31034483 13 14,14705882 14 13,14720812 15 12,27876106 16 11,51750973 17 10,84482759 18 10,24615385 19 9,709944751 20 9,226932668 21 8,78959276 22 8,391752577 23 8,028301887 24 7,694974003 25 7,388178914 26 7,104874446 27 6,842465753 28 6,598726115 29 6,371733967 30 6,15982242 31 5,961538462 32 5,775609756 33 5,600917431 34 5,436473639 35 5,281402936 36 5,134926754 37 4,996350365 38 4,865051903 39 4,740473062 40 4,622111181 41 4,509512485 42 4,402266289 43 4,3 44 4,202374806 45 4,109081935 46 4,019839395 47 3,93438914 48 3,852494577 49 3,773938385 50 3,698520592 51 3,626056879 52 3,556377079 53 3,489323843 54 3,424751457 55 3,362524785 56 3,30251833 57 3,244615385 58 3,188707281 59 3,134692705 60 3,08247709 61 3,031972058 62 2,983094928 63 2,935768262 64 2,889919453 65 2,84548036 66 2,802386964 67 2,760579065 68 2,72 69 2,680596388 70 2,642317894 71 2,605117017 72 2,568948891 73 2,533771107 74 2,499543546 75 2,466228226 76 2,433789164 77 2,402192243 78 2,371405094 79 2,341396988 80 2,312138728 81 2,28360256 82 2,255762082 83 2,228592163 84 2,202068868 85 2,176169388 86 2,150871975 87 2,126155878 88 2,102001291 89 2,078389296 90 2,055301815 91 2,032721565 92 2,010632014 93 1,989017341 94 1,967862397 95 1,94715267 96 1,926874254 97 1,907013815 98 1,887558563 99 1,868496225 100 1,849815018 101 1,831503627 102 1,813551177 103 1,79594722 104 1,778681705 105 1,761744966 106 1,745127703 107 1,728820961 108 1,712816117 109 1,697104865 110 1,6816792 111 1,666531407 112 1,651654045 113 1,637039937 114 1,622682157 115 1,608574021 116 1,594709073 117 1,581081081 118 1,567684022 119 1,554512075 120 1,541559614 121 1,528821199 122 1,516291569 123 1,503965631 124 1,49183846 125 1,479905286 126 1,468161491 127 1,456602604 128 1,445224291 129 1,434022353 130 1,422992722 131 1,412131453 132 1,40143472 133 1,390898813 134 1,380520131 135 1,370295183 136 1,360220576 137 1,350293021 138 1,34050932 139 1,33086637 140 1,321361155 141 1,311990745 142 1,302752294 143 1,293643032 144 1,284660269 145 1,275801389 146 1,267063846 147 1,258445164 148 1,249942935 149 1,241554815 150 1,233278521 151 1,225111832 152 1,217052586 153 1,209098676 154 1,20124805 155 1,19349871 156 1,185848708 157 1,178296146 158 1,170839175 159 1,163475991 160 1,156204836 161 1,149023995 162 1,141931797 163 1,134926609 164 1,128006841 165 1,12117094 166 1,114417389 167 1,107744711 168 1,101151461 169 1,09463623 170 1,08819764 171 1,081834348 172 1,07554504 173 1,069328433 174 1,063183274 175 1,057108339 176 1,051102431 177 1,045164379 178 1,039293041 179 1,033487298 180 1,027746057 181 1,02206825 182 1,01645283 183 1,010898776 184 1,005405086 185 0,999970782

Yeti:

PrzyszlyMakler: Nie macie pojęcia jak długo mi zajęło zrozumienie tego wszystkiego, ale teraz to jest pełny sukces. Najbardziej do mnie przemawia wpis zombiego,yetiego jest bardzo podobny, a omnikrona nie rozumiem. Dziękuję wszystkim. PS. piotr niezły troll XD

omikron: Zapisałem pięć możliwych przypadków. n może być albo podzielne przez 5 albo dawać resztę 1,2,3,4 Jeżeli jest podzielne, to koniec dowodu, jeżeli nie to pokazuję, że któraś liczba z pozostałych nawiasów jest podzielna przez 5.

6latek: A piotr uzyl programu Excel do obliczen matematycznych wiec nic w tym dziwwnego

PrzyszlyMakler: np. drugi przypadek w Twoim poście omikron 2) n= 5k + 1 skąd wiesz, że to jest podzielne przez 5?

omikron: W tym przypadku n daje resztę 1 przy podzieleniu przez 5, w takim razie liczba o 1 mniejsza (jaką jest n−1) jest podzielna przez 5

PrzyszlyMakler: Rozumiem. Oki, jedziemy dalej. Wyraź 0,3(567) w postaci ułamka. Zrobiłem tak: 10000a = 3567,(567) 10a=3,(567) 9990a =3564

	3564
a =
	9990

Ale w odpowiedzi jest 198/555 i nie wiem jak dojść do wyniku o mniejszym ułamku. [wiem, że moje też dobrze]

Yeti: Umiesz uprościć ułamek przez 18

PrzyszlyMakler: A na pierwszy rzut oka skąd miałbym to wiedzieć?

Yeti: licznik i mianownik są: parzyste ( zatem podzielne przez 2) i suma cyfr podzielna przez 9 zatem licznik i mianownik dzieli się przez 2*9=18 ( to wiedzą już gimnazjaliści.... cechy podzielności

omikron: Szukaj po kolei, czy dzieli się przez 2,3,5,6 itd.

PrzyszlyMakler: A spoksik. Myslałem, że można bezpośrednio dojść do liczby 198/555 bez skracania takiego giganta.

Yeti: No to na rozgrzewkę zad1 Wyznacz wszystkie pary(x,y) liczb całkowitych spełniających równanie: xy+y²=y³−x−1 zad2 Wiedząc,że liczba naturalna n jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 6 Wykaż,że liczba n²+7 jest podzielna przez 8 Powodzenia

Saizou : Etuś od kiedy jesteś śnieżnym potworkiem?

Yeti: Ciiiiiii

Saizou : Jak wakacje mijaja?

Yeti: Jestem wypoczęta i zrelaksowana Zdrowie póki co ... dopisuje i oby tak dalej! Pozdrawiam ....

PrzyszlyMakler: Trudne to zadanie pierwsze, ech, zły jestem na siebie, że niczego nie potrafię dotrzec. Doszedłem do postaci

	−x −1
y=		, która kompletnie nic nie daje
	x + y − y2

ale tez doszedłem do postaci

	y3 −y2 − 1
x=		która jest zdecydowanie lepsza. Żeby liczba była calkowita, to
	y+1

licznik musi być wielokrotnością miawnownika, ale nie wiem jak zrobić z licznika y³ − y² − 1 iloczyn, aby jego składnikiem było y+1

Yeti: Makler ... zaniemówił?

PrzyszlyMakler: Przecież jest mój post!

Yeti: No i ładnie:

	y3−y2−1
x=		, y≠−1
	y+1

podziel licznik przez mianownik ... podaj zapis (po wydzieleniu... i wszystko się rozjaśni x=......

PrzyszlyMakler: Po podzieleniu mi wyszło y² −2y + 2 reszty −3

Yeti: Ciepło, ciepło.......

	3
zatem x= y2−2y+2−
	y+1

kiedy ta liczba będzie całkowita?

PrzyszlyMakler: A w międzyczasie napiszę jak mi wyszło drugie zadanie. No to n=3k (nie wiem jak matematycznie zapisać, że liczba jest podzielna przez 3 a niepodzielna przez 6). (3k)² + 7 = 9k² + 7 = 8k² + k² + 8 − 1= 8(k² + 1) + k² − 1 Dobrze kombinuje?

Yeti: n=6k+3 −−− spełnia warunek zadania i teraz działaj

PrzyszlyMakler: ta liczba będzie całkowita wtedy i tylkowtedy, gdy y = 2

PrzyszlyMakler: x = 1, y = 2 git?

Yeti: Mało .... wtedy gdy y+1 będzie całkowitym dzielnikiem −3 wypisz te dzielniki....... i porównaj z y+1

Yeti: Wciąż nie mogę uwierzyć,że tak słabo napisałeś maturę z rozszerzenia? Stres Cię pokonał? czy..... ? Wierzę w Ciebie .... teraz napiszesz przynajmniej na 96%

6latek: Yeti Mozesz napisac z jakiego zbioru zadan sa te zadania ?

PrzyszlyMakler: y+1 = −1 ⋀ y+1 = 1 ⋀ y + 1 = −3 ⋀ y + 1 = 3 No i dla każdego rozwiązanego y podstawiam do równania i mam też wtedy x. A Eto, w tym zadaniu 1 jak można było dostrzec, aby wyłączyć x? Ja to zrobiłem metodą prób i błędów, bo wyłączając y same bzdury były, ale jest na to jakaś reguła co 'lepiej' wyłączyć? To w niższej potędze czy coś?

Yeti: Jeżeli chcesz wyznaczyć "x" to x−− na lewo a reszta na prawo( jak w każdym równaniu)

PrzyszlyMakler: Tak słabo? Nigdy nie napisałem próbnego arkusza powyżej 70%. Szczerze mówiąc oczekiwałem wyniku w zakresie 40−60, ale nie ukrywajmy liczyłem na 60. Słaby jestem, szczególnie z planimetrii... w dodatku b. dużo czasu przeznaczyłem na niemiecki, bo miałem fenomenalną nauczycielkę i napisałem na 90%. Z matmy realizowałem rozszerzenie, ale nauczycielka dostosowała poziom do klasy, a z klasy 3 osoby rozszerzenie zdawały, więc robiliśmy podstawę, w dodatku nauczycielce specjalnie nie zależało, więc wszystko robiłem sam... Samemu się planimetrii nie nauczyysz... W ogóle geometrii, której było za dużo na maturze jak dla mnie.. Ja uwielbiam dowody logarytmiczne, a na złość nic nie było.

PrzyszlyMakler: Pytam w sensie dlaczego wyłączyliśmy x, a nie y

Yeti: Witaj "małolatku" Zadanka są z mojego prywatnego zbiorku Z mojej "szuflady" jak to mawiał pigor ( ciekawe gdzie on się podziewa?

Yeti: Wyłączamy to co łatwiej jest wyłączyć ( chyba jasne ,że w tym przypadku "x"

6latek: Rozumiem dziekuje

PrzyszlyMakler: Doszedłem do postaci 4(9k² + 9k + 4), ale nie wiem jak udowodnić, że 9k² + 9k + 4 jest podzielne przez 2

PrzyszlyMakler: Chyba, że bym zrobił triki i zamienił to na 10k² − k² + 10k − k + 4, ale nie wiem co by mi to dało, bo nie wyłączę wtedy k² i k. Nie mam wizji.

Yeti: Coraz cieplej,ale jeszcze nie gorąco 36k(k+1)+16 = 8*t , t∊N dodając odpowiedni komentarz ( myślę,że widzisz jaki?

PrzyszlyMakler: Niestety patrzę i patrze i myślę i nie wiem, to 36 wszystko psuje..

Yeti: Co Ci "psuje" ? k(k+1) −−− iloczyn dwu kolejnych liczb naturalnych jest zawsze liczbą parzystą , czyli podzielną przez 2 zatem : 36*2 =4*2*9 −−jest podzielne przez 8 i 16 też więc ................ i koniec dowodu

PrzyszlyMakler: ech, to było genialne! ech dlatego, że nie wpadłem na to. Próbowałem coś wykombinować z tym, że to są jakieś liczby, ale w głowie miałem tylko, że ta liczba jest podzielna przez 36, a o k+1 nic nie wiem

PrzyszlyMakler: Eto, czy masz jeszcze jakieś super zadanka z zagadnienia liczby rzeczywiste? Jak tak to poproszę!

PrzyszlyMakler: Dziękuję, że poświęcasz swój czas na kształcenie młodego pokolenia nawet w wakacje! Order soczystego jabłka !

Yeti: No to planimetria zad1 W trapez prostokątny o podstawach m, n wpisano okrąg' Wyznacz pole tego trapezu. zad2 W trójkącie równobocznym o boku długości 16 zaznaczono punkt P

	|AP|		3
na boku AC tak ,że		=
	|PC|		5

Wyznacz sin∡ABP

PrzyszlyMakler: Czy mogę założyć, że 2r = h? Jeżeli tak, to= n + m = 2r + x (2r)² + z² = x² z = m −n 4r² + (m−n)² = x² z = √4r² + (m−n)² Nie no.. nie wiem jak wyrazić h lub x lub r za pomocą m i n..

PrzyszlyMakler: Chociaż może mam pomysł. (√4r² + (m −n)²)² + n + (2r)² = (n + m − 2r)² Dobrze? XD

PrzyszlyMakler: Wyszło mi 4r² −4nm + 4rn + 4rm = 0

PrzyszlyMakler: Jestem straszny XD

PrzyszlyMakler: Myślę, że to równanie jest dobrze. (m−n)² + (2r)² = (m + n −2r)² Ale jak z tego wartość r ustalić..

Yeti:

	mn
r2=(n−r)(m−r) ⇒ 1=mn−nr−mr ⇒ r=
	m+n

to h=2r

	m+n		2mn
P=		*		= mn [j2]
	2		m+n

Yeti: Możesz "pociągnąć " dalej m²−2mn+n²+4r²= m²+n²+4r²+2mn−4mr−4nr 2r=.......

Yeti: Ja wolę,ten sposób ,który podałam na rys. obliczenia są wtedy bardziej przyjazne)

PrzyszlyMakler: Moim sposobem nie umiem skończyć. PS. Ten Twój rysunek to jakiś kosmos, ja nie wiem jak można to rozumieć. Dlaczego te długośc przy prawej skośnej ścianie [u mnie to x] są długości m−r i dlaczego kąty alfy i bety są takie same w tych miejscach co je oznaczyłaś?

PrzyszlyMakler: I skąd utworzyłas to równanie? r²=(n−r)(m−r) <załamka>

Yeti: Twoim sposobem ..... nie chce Ci się dokończyć ( zwykłej redukcji?

	mn
otrzymujesz: −4mn= −4r(m+n) ⇒ r=
	m+n

zatem P=.... chociaż to już dokończ...

Yeti: W moim sposobie: 1/ korzystam z własności odcinków stycznych m−r i n−r 2/ ΔBOC −−− jest prostokątny (bo środek okręgu wpisanego znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów ( 2α , 2β) 3/ z własności trapezu 2α+2β=180^o ⇒ α+β=90^o 4/ długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego ( r) dzieli przeciwprostokątną na odcinki n−r,m−r, tak, że r²=(m−r)(n−r) Warto przypomnieć sobie ( na początek) te podstawowe własności ( są w tablicach patrz: trójkąt prostokątny Wtedy zadanie staje się.... jasne, proste i łatwe w rozwiązaniu

Yeti: "jasne, proste w rozwiązaniu"

PrzyszlyMakler: Rzeczywiście doszedłem do tego wyniku r, za pierwszy razem źle przemnożyłem. Eto, a w jaki sposób tak sprawnie i szybko policzyłaś (m + n −2r)²?

	2mn		m+n
Pole =		*		= mn
	m+n		2

Yeti: Znam wzór skróconego mnozenia (a+b−c)²= a²+b²+c²+2ab−2ac−2bc lub (a+b−c)²= (a+b−c)(a+b−c) =....... (

Yeti: zad2 −−− baaaaaaaaaaaaardzo proste dawaj rozwiązanie !

PrzyszlyMakler: Zaraz. Ogarniam to pierwsze, jestem taki słaby z planimetrii.. w sumie kompletnie zmieniłaś moje plany, bo chciałem liczby rzeczywiste, ale może lepiej jak zaczne od najgorszego.

PrzyszlyMakler: czy podpisane przeze mnie odcinki są równe? Czy w każdej figurze w którą da się wpisać okrąg odcinki które wyznacza punkt styczności są równe?

Yeti: Sam pisałeś,że "poległeś" na planimetrii Warto się wziąć za planimetrię , bo następne działy: analityczna i stereometria pójdą wtedy "jak po maśle" Najpierw powtórz podstawowe własności figur płaskich: 1/ trójkąty 2/ czworokąty 3/ okręgi, koła W tablicach masz podane większość zależności tych figur Jak już powtórzysz teorię, to pomogę w różnych zadaniach z planimetrii

Yeti: Na tym rys. ( jeżeli ten trapez równoramienny) x=c i z= b

PrzyszlyMakler: Problem w tym, że ja to wiem i nawet w maturalnej już to wiedziałem i się starałem, ale jak przychodzi zadanie to ja tego nie potrafię wykorzystać. Mam wrażenie, że takich 'najpodstawowszych' informacji nawet nie zamieszczają w stronach do nauki teorii. Mogłabyś tylko odpowiedzieć na ten rysunek z góry? I tego niestety nie rozumiem.. 4/ długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego ( r) dzieli przeciwprostokątną na odcinki n−r,m−r, tak, że r2=(m−r)(n−r) Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego... to chyba to.. [x]

Yeti:

Yeti: Z podobieństwa trójkątów ADC i DBC z cechy (kkk)

h		y
	=		⇒ h2=x*y
x		h

Nie mów,że nie znałeś tej własności

	a*b
2/ h=
	c

Yeti: W tym moim trapezie chodzi o ten trójkąt BOC to r²=x*y zatem w zadaniu: r²=(n−r)*(m−r) Czy teraz już jasne? Na razie idę na herbatkę

PrzyszlyMakler: AS = 8 AP= 10 PC= 6 PB = 8√3 Muszę policzyć odcinek AO z podobieństwa trójkątów. [czerwonym kolorem oznaczone kąty, nie umiem robić liter alfa i beta na tym forrum przy rysowaniu)

AP		AC
	=
AO		AS

10		16
	=
AO		8

10
	= 2
AO

2AO = 10 AO = 5 BO= 11

	OP
sing (czyli ten szukany w zadaniu) =
	8√3

OP z tw. pitagorasa. 5² + (OP)²= 10² OP = 5√3

	5√3		15
sing=		=
	8√3		24

Dobrze?

PrzyszlyMakler: Rysunek z 19:05 tyczy się każdego trapeza w który da się wpisać okrąg?

Yeti: 8x=16 ⇒x=2 to |AP|=6 z własności trójkąta ADP o kątach : 30^o,60^o,90^o ( szary trójkąt)

	|AP|
|AD|=		= 3 i |PD|= |AD|√3= 3√3
	2

i |DB|=16−3= 13 to |PB|= √|DB|²+|PD|²= ...= 14

	3√3
zatem sinα=
	14

Yeti: Odp: z wpisu 19:44 tak

Yeti: α ,β, γ masz nad okienkiem do rysowania

PrzyszlyMakler: h = P{a*b }{c} to skąd? I w ogóle to się przydaje do czegoś? I to się tyczy każdego trójkąta?

Yeti: Tylko trójkąta prostokątnego!

PrzyszlyMakler: Nie wiem dlaczego dałem AP jako 10, a nie 6. Dziękuję za wszystko i za piękne rysunki. Muszę je jeszcze przemyśleć. Ten z 19:05..

	ab
A to h =		to się do czegoś przydaje? i to się tyczy każdego trójkąta?
	c

PrzyszlyMakler: a prostokątnego, ok

Yeti: Np: zad. Wyznacz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 6

PrzyszlyMakler:

	30√61
odp.
	61

Yeti:

PrzyszlyMakler: Robiłem niemal identyczne już, schematy to chociaż to co umiem... Niemniej dziękuję.

Yeti: Wykaż ,że dla każdej liczby naturalnej n liczba n(n+1)(n+9)(n²+1) jest podzielna przez 5

PrzyszlyMakler: Nie mam pojęcia co tu można zrobić.. myslę jakie to mogą być liczby, nic nie moge rozbić. Jeżeli n to liczba patrzysta to mam 3 liczby nieparzyste i jedną parzystą, a jak n to liczba nieparzysta to mam 3 parzyste i nieparzystą. Nie wiem co mi to dało, chory dowód, myślałem aby rozbijać n² + 1 = (n+1)² − 2n = n² + 2n + 1 − 2n = (n+1)² − (√2n)² = ( n + 1 − √2n)( n + 1 + √2n) ale to wciąż nic nie daje

omikron: Tak jak w pierwszym zadaniu w tym temacie możesz sprawdzić 5 przypadków

PrzyszlyMakler: 1) n = 5k, no to podzielne 2) n = 5k −1 to podstawiam do drugiego nawiasu (n + 1) i mam 5k − 1 + 1 = 5k czyli podzielne 3) n = 5k +2 podstawiam do ostatniego nawiasu (n² + 1) więc: (5k + 2)² + 2 = 25k² + 20k + 4 + 2 = 25k² + 20k + 6 no i nie podoba mi się to, że nie wyszło, bo przecież liczbą tego typu jest 7, a 7 podstawione do ostatniego nawiasu dałoby 50, a 50 jest podzielne przez 5

PrzyszlyMakler: a mój błąd.. wszystko w porządku, w nawiasie jest n² + 1, więc za nawiasem tez jest +1 a ja dałem +2.. już zmęczenie odegrało rolę, wybaczcie. Kurdę, omikron, muszę przyznać, że ta metoda jest super..

PrzyszlyMakler: no to 3) n= 5k + 2 (n² + 1) = 25k² + 20k + 5 = 5(5k² + 4k + 1) czyli podzielne 4) 5k + 3 też do ostatniego (5k + 3)² + 1 = 25k² + 30k + 9 + 1 = 5(5k² + 6k + 2) podizelne 5) 5k + 4, podstawiam do drugiego nawiasu n + 1, to mam 5k + 4 + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1) czyli w każdej sytuacji podzielne, genialne. A da się to zrobić nie sprawdzając każdego przypadku?

Yeti: 2 sposób n(n+1)[(n−1)+10]*[(n²−4)+5]=[ n(n+1)(n−1)+(10n(n+1)(n−1)]*[(n−2)(n+2)+5]= po wymnożeniu=....... pierwszy składnik (iloczyn pięciu kolejnych liczb) podzielny przez 5 i pozostałe składniki podzielne przez 5 wniosek :... daje tezę

omikron: Źle. Musisz sprawdzić 5 kolejnych liczb, zamiast 5k+4 musisz 5k+1

omikron: I wtedy jeżeli n=5k+1, to n+9=5k+10, czyli też podzielne. Reszta dobrze, tym sposobem trzeba wszystkie przypadki sprawdzić

PrzyszlyMakler: achh, to w przypadku nr 4 powinienem wziąć 5k − 2?

omikron: Nie wiem jak z praktycznością tego, ja nie natknąłem się na taki przypadek podczas przygotowania do matury, ale jeżeli trzeba by było udowodnić np. podzielność przez 11 w podobnym zadaniu, to na pewno nie będzie to zbyt dobry sposób, bo za dużo przypadków do rozważenia

omikron: Nie, musisz po prostu wziąć 5 kolejnych liczb np. k−1, k, k+1, k+2, k+3

PrzyszlyMakler: Ten sposób jest niesamowity: n(n+1)[(n−1)+10]*[(n2−4)+5]=[ n(n+1)(n−1)+(10n(n+1)(n−1)]*[(n−2)(n+2)+5]= Nie wiem jak wpaść na coś takiego..

Yeti:

Yeti: zad2/ Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych xy+3x=4+y zad3/ Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych x+xy²=21−xy Działaj .........

PrzyszlyMakler: Na dzisiaj wystarczy, od 10 siedzę z matmą jeszcze wczoraj skromne parę h, szkoda, że jutro nie będę miał tyle czasu, bo praca i jazdy, ale ok. 21 zajrzę. Jakbyś mogła/ miała czas/ miała na wierzchu jakieś zadania Eto dla mnie, to zostaw proszę i z góry dziękuję. Dziękuję wszystkim co mi dziś pomogli, w szczególności zombiemu, Yeti i omikronowi. Jesteście super. x3

PrzyszlyMakler: Zjem coś, wykapię się i spróbuję jeszcze te zadanka.

Yeti:

PrzyszlyMakler: zad 2. y = −2, x =2 lub y = −4, x = 0

PrzyszlyMakler: A w 3. trzeba obliczyć 1 + y + y² = 1 1 + y + y²= −1 1 + y + y²= 3 1 + y + y²= −3 1 + y + y² = 7 1 + y + y²= −7 1 + y + y² = 21 1 + y + y² = −21

	21
I to będą odpowiedzi dla y, a aby poznać x trzeba wstawić ww wartość w x =
	1+Y+Y2

Tak bym to robił, ale nie chce mi się. Jeżeli jest szybszy sposób chętnie poznam.

Yeti:

jc: x(1+y+y²) = 21 Sprawdzasz y=−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Wybierasz rozwiązania i koniec. Pasują y = 0, 1, 2, 4, −1, −2, −3.

Yeti:

PrzyszlyMakler: A skąd miałbym wiedzieć, że pasuje y=−4? [a mój sposób był dobry? chyba nie. ]

PrzyszlyMakler: PS. Idę teraz do pracy, jak będziesz miała chwilę napisz parę zadań, po przyjściu do domu od razu będę działał.

jc: Twój sposób jest dobry Ja podszedłem inaczej. 1+y+y² ≤ 21 dla y ∊ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 , 4}. Pozaa tym 1 ≤ 1+y+y² dla całkowitych y.

PrzyszlyMakler: czaję ; )

Eta:

Jack: Eta Gdzie byłaś ?

Eta: Na wakacjach

Jack:

Metis: Etuś − martwiliśmy się

Eta:

Metis: to jeszcze musimy odnaleźć Naszego PW

Metis: O Wilku mowa?

Eta: Widzę ,że jest na forum

Jack: poki co to glownie obserwuje

Eta: Metisku byłam w Twoim mieście ( aż dwa razy

Metis: Etuś i ja nic o tym nie wiedziałem ? Nieładnie Spodobało Ci się? Zwiedzałaś?

PrzyszlyMakler: Eto! Poproszę o zadanka! PS. Cieszę się, że wypoczęłaś. Należało Ci się po kolejnym roku wspomagania maturzystów.

Eta: Witam Załóż nowy post, to podrzucę zadanka

Metis: Etuś byłaś na festiwalu Dookoła Wody ?

Eta: Nie, nie byłam

Eta: I co Makler?