Wzor de Moivre"a 6latek: Rozwin wyrazenie A)(cosα+isinα)ⁿ wedlug wzoru Newtona dla n=2 ,3 ,4, 5 . B) Oblicz wyrazenie na podstawie wzoru de Moivera Porownaj odpowiednie skladniki rzeczywiste i urojone otrzymanych wyrazen Wyprowadz stad wzory na cos nα i sin nα dla a) n=2 b) n=3 c) n=4 d) n=5 C) Rozwiaz rownanie 32x⁵−40x³+10x+1=0 Wskazowka . Zadanie d) A) n=2 (cosα+isinα)²= cos²α+(2i)*cosα* sinα −sin²α n=3 (cosα+isinα)³=cos³α+(3*i)*cos²α*sinα−(3)*cosα*sin²α−isin³α n=4 (cosα+isinα)⁴= cos⁴α+(4)*cos³α*isinα−(6)*cos²α*sin²α−(4*i)*cosα*sin³α+sin⁴α n=5 (cosα+isinα)⁵= cos⁵α+(5)*i*cos⁴α*sinα−(10)*cos³*sin²α−(10*i)*cos²α*sin³α+(5)*cosα*sin⁴α+i*sin⁵α Wzialem wspolczynniki w nawias zeby lepiej bylo odczytac B) Na postawie wzoru de Moivre'a r=1

	sinα
Jak teraz policzyc argument bo wychodzi mi tgφ=		= tgα .
	cosα

I tutaj sie zatrzymalem

6latek: Musimy tutaj liczyc (cosα+isinα)ⁿ= (cos nα+isin nα) rⁿ pomijamy bo to bedzie zawszse 1 Wiem tez ze (cosα+isinα) jest to zapis trygonometryczny jedynki (ale czy to jest tutaj akuratnie wazne ?

Iryt: (cosα+isinα)²= cos²α+(2i)*cosα* sinα −sin²α=(cos²α−sin²α)+i*2sinα*cosα (cosα+isinα)²=cos(2α)+isin(2α)⇔ cos(2α)=cos²α−sin²α sin(2α)=2sinα*cosα ================ I tak w każdym przypadku.

jc: Użyj liter c i s na oznaczenie cos α, sin α. (c + s i )² = (c² − s²) + (2 c s) i (c + s i)³ = (c³ − 3 c s²) + (3c² s − s³) i (c + s i)⁴ = c⁴ + 4 c³ s i − 6 c² s² − 4 c s³ + s⁴ = (c⁴ − 6 c² s² + s⁴) + 4(c³ s + c s³) i Argumenty są wielokrotnościami α: 2α, 3α, 4α, 5α. Przykład n=3. cos 3α = (cos α)³ − 3 cos α (sin α)² = 4 (cos α)² − 3 cos α sin 3 α = podobnie Skorzystałem z jedynki trygonometrycznej. W każdym przykładzie cos nα = P( cos α) sin n α = sin α W(cos α), dla nieparzystych n wystarczą sinusy P, W nazywamy wielomianami Czebyszewa

6latek: Witam Pozdrawiam dziekuje . Wlasnie znalazlem takie rozwiazanie w ksiazce Eustachy Tarnawski Matematyka dla studiow technicznych Natomiast w ksiazce Specjalny wyklad trygonometrii Nowosiolowa jest pokazane ale dla mnie troche niezrozumiale Teraz sobie ja troche przestudiuje .

6latek: To teraz jeszce podpunktc C) Wyszlo mi ze cos5α= cos⁵α−10cos³αsin²α+5cosαsin⁴α sin5α=5cos⁴sinα−10cos^α2sin³α+sin⁵α jak to wykorzystac do rozwiazania tego rownania ?

6latek: Poprawie sin5α= 5cos⁴α*sinα−10cos²α*sin³α+sin⁵α

jc: Można bez liczb zespolonych. cos (n+1) a = cos a cos na − sin a sin na cos (n−1) a = cos a cos na + sin a sin na Dodajemy stronami. cos (n+1) a + cos (n−1) a = 2cos a cos na lub inaczej cos (n+1) a = 2cos a cos na − cos (n−1) a Wygodnie jest przyjąć, że cos a = x. No to jedziemy od zera ... cos 0 = 1 cos a = x cos 2a = 2x x − 1 = 2 x² − 1 cos 3a = 2x (2 x² − 1) − x = 4 x³ − 3x cos 4a = 2x (4 x³ − 3x) − (2 x² − 1) = 8 x⁴ − 8 x² + 1 cos 5a = 2x (8 x⁴ − 8 x² + 1) − (4 x³ − 3x) = 16 x⁵ −20 x³ + 5x itd.

jc: 32x⁵−40x³+10^x+1=0 16 x⁵ −20 x³ + 5 x = −1/2 Jeśli podstawimy x = cos a, to będziemy mieli cos 5a = −1/2, a więc a = ...

6latek: jc Nie rozumiem tych 1 dwoch linijek co zapisales

6latek: z postu 18:04

jc: Pierwsza linijka to podpunkt (C) zadania. Druga linijka, to przekształcone równanie. Przenoszę 1 i dzielę przez 2. Trzecia linijka, to wzniosek ze wzoru dla n = 5 (ostatnia linia wcześniejszgo wpisu).

jc: Nie ten wpis ... Których linijek nie rozumiesz?

6latek: Post 18:04 cos(n+1)a=.... cos(n−1)a=....

jc: Wzóry na cos (a+b) i cos (a−b).

jc: Tak jest, jak się poprawia ... Wzory na cos (a+b) i sin(a−b).

6latek: Dobrze czyli muszse doprowadzic cos3α, cos4α, cos5α i to samo z sinusem do prostszsej posatci jak sie rozwaizauje rownania trygonometryczne muszse sobie przypomniec Ale to bedzie

	2		2
5α=		π+2nπ lub 5α=−		π+2nπ i ten n∊C i dalej to rozwaizywac
	3		3

jc: Dobrze

6latek: Wiesz . To jest zadanie maturalne

6latek: Zaraz sobie bede doprowadzal te sinusy i cosinusy do prostszej postaci

Iryt: Zadanie maturalne? Z którego roku?

6latek: Zbior zadan jest z 1973roku

Iryt: No tak, radosna twórczość lat 70−tych.

6latek: Iryt Tylko w tym zbiorze Zbior zadan z matematyki elementarnej Algebra Aniela Ehrenfeucht i OLga Stande znalazlem multum zdan z liczb zespolonych

jc: 6latku, nie spodobał Ci się rekurencyjny sposób na cos na ? To jest szczególny przypadek bardziej ogólnego schematu. Podobne związki pojawiają się przy funkcjach opisujących oscylator kwantowy, atom wodoru, ...

6latek: jc Ja to musze zrozumiec Przez chwile to zostawilem bo pomagalem historykowi

6latek: mam troche klopot bo cos5α= cos⁵α−10cos³α*sin²α+5cosα*sin⁴α =cosα(cos⁴α−10cos²α*sin²α+5sin⁴α) jak dojsc z tego do 16cos⁵α−20cos³+5cosα? Moze to trzeba inaczej przeksztalcic ale ten wynik ma byc

jc: Jedynka trygonometryczna

jc:

6latek: Probowalem zrozumiec post 18:04 i jestem juz na dobrej drodze Potem wzor na sinnα Tutaj chyba mnie cos zacmilo

jc: sin na = (sin a) * wielomian ( cos a) wielomiany, które tu się pojawiają spełniają takie same relacje rekurencyjne, jak wielomiany związane z cos na, tylko początek rekurencji jest inny (może coś mylę). Zamiast 1, x, jest 1, 2x.

Iryt: cos5α=cos⁵α−10cos³α*sin²α+5cosα*sin⁴α= =cos⁵α−5*sin²α*[2cos³α−cosα*(1−cos²α)]= =cos⁵α−5*sin²α*[2cos³α−cosα+cos³α]= =cos⁵α−5*(1−cos²α)*(3cos³α−cosα)= =cos⁵α−5*(4cos³α−3cos⁵α−cosα)= =cos⁵α−20cos³α+15cos⁵α+5cosα= =16cos⁵α−20cos³α+5cosα

6latek: dziekuje Iryt [Pj[jc]] wroce pozniej do tego sinusa bo cos mi tam nie pasuje

6latek: Teraz tak patrze i moglem przeciez w miejsce sin²α wstawic 1−cos²α w miejsce sin⁴=(1−cos²α)²

jc: 22:47

6latek: wracam do sinusa sin[(n+1)a]=sin(na+a)= sin na*cosa+cos na*sina sin[(n−1)a]= sin(na−a)= sin na*cosa−cos na*sina Dodaje to stronami i dostaje sin[(n+1)a]+sin[(n−1)a]=2sin (na)*cosa sin[(n+1)a]=2sin(na)*cos(a)−sin[(n−1)a] ===================== To teraz cos(a)=x ? natomiast gdyby zrobic podstawienie sin(a)=x to mozna w 1 rownianiu napisac sin[(n+1)a]= sin(a+na)= sin(a)*cos(na)+cos(a)*sin(na) ========================================== Natomiast w drugim rownaniu sin[(n−1)a] juz nie mozemy tak sobie zamienic bo odejmowanie nie jest przemienne i wobec tego to = sin(na)*cos(a)−cos(na)*sin(a) ================================= No i zrobil sie problem z lekka

6latek: czekaj jc Ale mysmy zrobili dokladnie to samo w cosinusie wiec sin[(n+1)a]= 2*sin(a)*cos(na)− sin[(n−1)a]

jc: Czasem wzory rekurencyjne jest wygodniejsze, czasem nierekurencyjne. sin (n+1)a + sin (n−1)a = 2 sin na cos a Jeśli przyjmiesz, że sin na = sin a W_n(cos x) to będziesz miał sin a W_n+1 (cos a) + sin a W_n−1 (cos a) = 2 cos a sin a W_n (cos a) czyli W_n+1(x) + W_n−1(x) = 2 x W_n (x), x = cos a lub inaczej W_n+1(x) = 2 x W_n (x) − W_n−1(x). Ta sama rekurencja, ale inny początek: W₀ = 0, W₁ = 1. W₀ = 0 W₁ = 1 W₂ = 2x W₁ − W₀ = 2x W₃ = 2x W₂ − W₁ = 4x² − 1 W₄ = 2x W₃ − W₂ = 2x (4x² − 1) − 2x = 8x³ − 4x W₅ = 2x W₄ − W₃ = 2x (8x³ − 4x) − (4x² − 1) = 16 x⁴ − 12 x² + 1 czyli sin 5a = sin a (16 cos⁴ a − 12 cos² a + 1)

jc: Wysłałeś list, w czasie, kiedy ja pisałem

6latek: Wiesz ja to przemysle ale nie znam rekurencji (jedynie jak ciag jest okreslony takim wzorem srednia szkola

6latek: ja to zrozumie tylko potrzeba troche czasu tak jak z tym cosinusem

jc: Znasz rekkurencję aⁿ⁺¹ = a * aⁿ, początek a⁰ = 1 (n+1)! = (n+1) * n!, początek 0! = 1 ∑_k=1ⁿ⁺¹ a_k = (∑_k=1ⁿ a_k) + a_n+1, początek ∑_k=1¹ a_k = a₁

n+1 k		n k−1		n k		0 0
	=		+		, początek		= 1,

	n k
plus warunki		= 0 jeśli k < 0 lub k > n,

itd.

6latek: I to sin5α=sinα(16cos⁴α−12cos²α+1) zgadzaloby sie bo jak podstawie za cos²α=1−sin²α to dostane sin5α= 16*sin⁵α−20sin³α+5sinα i to jest prawidlowe (ale liczenia bardzo duzo jednak troche nie rozumiem tego z postu 11:08 Cytat : Ta sama rekurecja ale inny poczatek W₀=0 W₁=1 Co wstawiasz w miejce poszczegolnych oznaczen do tego wzoru ? W_n+1(x)= 2*xW_n(x)−W_n−1(x) W₀= 2*1* co? w miejsce x wstawaim 1 bo cos0=1 a w miejsce W_n(x) wstawiam 0 bo sin0=0? A to W₁? Troche nie wiem

jc: Czy znasz ciąg Fibonacciego? Zaczynasz od 1, 1. Zacznij od 1, 3, otrzymasz coś innego.

6latek: Tylko slyszalem

jc: Zaczynasz od dwóch jedynek. Każdy nowy wyraz jest sumą dwoch ostatnich. F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+1 = F_n + F_n−1. To samo uzyskasz wychodząc z F₀ = 0, F₁ = 1. Ale możesz zacząć od F₁ = 1, F₂ = 2. Uzyskasz inne liczby. Wypisz sobie.

jc: Za drugim razem zacznij od F₁=1, F₂=3 (nie 1 , 2).

Mila: To ładny sposób podany przez JC2* 1) cos(nα) Wyprowadzony masz wzór: cos[(n+1)α]=2cos(nα)*cosα−cos[(n−1)α] rozpisuję dokładnie: cos0=1 n=1 cos(1+1)α]=cos(2α)=2cosα*cosα−cos[(1−1)α=2cos²α−1 n=2 cos(3α)=2 cos(2α)*cosα−cosα=2*(2cos²α−1)*cosα−cosα=4cos³α−3cosα n=3 cos(4α)=2cos(3α)*cosα−cos(2α)=2*(4cos³α−3cosα)*cosα−(2cos²α−1)= =8cos⁴α−8cos²α+1 n=4 cos(5α)=2cos(4α)*cosα−cos(3α)=2*(8cos⁴α−8cos²α+1)*cosα−(4cos³α−3cosα)= =16cos⁵α−20cos³α+5cosα

Mila: sin(na) sin [(n+1)a ] = 2 sin (na )cos a− sin [(n−1)a] sin0=0 1) n=1 sin(2α)=2sinα*cosα−sin0=2sinα*cosα 2) n=2 sin(3α)=2sin(2α)*cosα−sinα=4sinα*cos²α−sinα=sinα*(4cos²α−1)=sinα*(4−4sin²α−1)= =3sinα−4sin³α 3) n=3 sin(4α)=2sin(3α)*cosα−sin(2α)=2*(3sinα−4sin³α)*cosα−2*sinα*cosα =6sinα*cosα−8sin³α*cosα−2sinα*cosα=4sinα*cosα−8sin³α*cosα 4) n=4 sin(5α)=2sin(4α)*cosα−sin(3α)=2*(4sinα*cosα−8sin³α*cosα)*cosα−(3sinα−4sin³α)= =8sinα*cos²α−16sin³α*cos²α−3sinα+4sin³α= =sinα*(8cos²α−16sin²α*cos²α−3+4sin²α)= =sinα*(16cos⁴α−12cos²α+1)

6latek: dzien dobry Milu Ja to sobie tak wyprowadzilem to . MI chodzilo o ten ciag Fibonaciiecgo dlaczego e sinusie W₀−0 iW₁=1 Jesli mozesz to pomoz w tych zadaniach tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/329006.html