Ciag Fibonacciego 6latek: Dwa zadania z ciagiem Fibinacciego Zadanie nr 365 Hodowca kupil pare mlodych krolikow do hodowli Oznaczmy przez u_n liczbe par doroslych krolikow ktore ma hodowca po n miesiacach Wiemy ze : 1 wszystkie urodzone kroliki zyja 2. krolik jednomiesieczny jest dorosly 3. Kazda para krolikow majacych po dwa miesiace rodzi po raz pierwszy nowa pare krolikow a nastepnie co miesiac rodzi pare krolikow A) Oblicz kolejno u₁, u₂,u₃........u₁₀ B) Udowodnij ze (1) ⋀n∊N⁺ u_n+2=u_n+1+u_n Drugie zadania napisze po rozwiazaniu tego zadania

6latek: Po 1 m−cu 1 para u₁=1 po 2 m−cu 1 para (ta sama para) u₂=1 po 3 m−cu zakupiona para rodzi nowa (1') pare krolikow czyli u₃= 1+1=2 Po 4 −m−cu para nr 1 rodzi nowa pare krolikow (1'') czyli u₄= 2+1=3 Po 5 m−cu ma juz 5 par czyli u₅=5 po 6 m−cu ma juz 8 par czyli u₆=8 po 7 m−cu ma juz 13 par czyli u₇=13 po 8 m−cu ma juz 21 par czyli u₇= 21 Po 8 −mcu ma 34 pary czyli u₈=34 Po 9 miesiacu ma 55 par czyli u₉=55 po 10 miesiacu ma 89 par krolikow czyli u₁₀= 89

6latek: Co do punktu B) to widac ze tak jest Udowodnic tego nie potrafie bo to chyba nalezy udowodnic indukcyjnie

6latek: Zadanie nr 366 Ciag dany wzorem rekurencyjnym u_n+2=u−{n+1}+u_n w ktorym u₁=u₂=1 jest to ciag Fibonacciego A) Oznaczmy S_n= u₁+u₂+u₃+.....+u{n−1}+u_n Udowodnij ze ⋀ S_n+3= 2S_n+2−S_n n∊N⁺ Wskazowka u_k=S_k−S_k−1 B) Sprawdz ze dla n=1 n=2 n=3 wyrazy ciagu o wyrazie ogolnym

	1		(1+√5		(1−√5
an=		[		)n−		)n] spelniaja
	√5		2		2

1− rownosc 1 z zadania nr 365 2 rownanie a²_n+1+a²n= a_2n+1

6latek: Teraz zrobie b) dla n=1 a₁=1 (dla siebie to co w nawiasie to =√5 dla n=2 a₂= 1 po obliczeniach skorzystalem z ewzoru a²−b² dla n=3 a₃= skorzystam z ewzoru a³−b³= (a−b)(a²+a*b+b²) to wyjdzie a₃=2 Sprawdzam rownosc 1 to a₃= a₂+a₁ 2=1+1 Prawda nad drugim rownaniem musze troche popracowac bo nie czaje tego zapisu a_2n+1

6latek: Tym bardziej nie rozumiem A Jesli ktos by mogl to w miare lopatologicznie wytlumaczyc to bede wdzieczny . Przyda sie do dalszych zadan z ciagow

6latek: Mysle sobie ze tak S_n+3= S_n+u_n+1+U_n+2+u_n+3 S_n+2= S_n+U{n+1}+u_n+2 Teraz pytanie Jak mam zapisac sune 2*S_n+2?

6latek:

6latek:

Mila: S_n+3=2S_n+2−S_n S_n+3−S_n+2=S_n+2−S_n L=u_(n+3) z własności: u_k=S_k−S_k−1 P=u_(n+1)+u_n+2=u_n+3 L=P

6latek: Milu To zadanie jest oznaczone jako trudne Dlaczego tak rozbilas 2S_n+2? Drugie pytanie Jak rozwiazac drugie rownanie z 8:53?

Mila: Rozbiłam , aby rozwiązać problem.

6latek: A ten moj drugi problem ?

Mila: To proszę JC o opinię ad. 21:45

Mila: równanie rekurencyjne: a²_n+1+a²_n= a_2n+1 Masz odpowiedź? A może wskazówkę?

6latek: Nic do tych zadan nie ma w odpowiedziach

Saizou : Ja proponuję wyjść od prawej strony P=2S_n+2−S_n=S_n+2+a_n+2+a_n+1+S_n−S_n= S_n+2+a_n+2+a_n+1= a₁+a₂+...+a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+1+a_n+2= (z wł. ciągu Fibonacciego)= a₁+a₂+...+a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3=S_n+3=L

6latek: Czesc Saizou Ja bym bardzo chcial zebys mi to wytlumaczyl slownie jak rospisales prawa strone P= 2S_n+2−S_n= S_n+2+a_n+2+a_n+1+S_n−S_n

Mila: Początkowe wartości tego ciągu to: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,… Wg mnie to jest tożsamość, a nie równanie. (a₅)²+(a₄)²=a₉ L=5²+3²=34 P=34 Jaka jest dokładnie treść?

jc: Dobry wieczór Mila, 6latek, Saizou 21:45 prościej nie można

6latek: Dokladna tresc zadania post 8:53 Milu staram sie zawsze dokladnie przepisywac tresc

jc: 6latku, tak sobie przeglądałem jakąś książkę i zobaczyłem ciąg 2, 1, 3, 4, 7, ... Przypadkowo ten sam, który Ci zaproponowałem. Ciąg nazywa się ciągiem Lucasa.

Metis: Liczby Lucasa− ciekawe liczby w matematyce

6latek:

Mila: Cześć JC. Dziękuję.

6latek: Saizou Juz wiem 2S_n+2= S_n+2+ S_n+a_a+1+a_n+2 bo S_n+a_n+1+a_n+2=S_n+2 i mamy 2S_n+2 To co probuje caly dzien zrozumiec