Rozklad na czynniki 6latek: Rozloz dwumian na czynniki liniowe o wspolczynnikach zespolonych a) x²+1 b) x²+4 c) x²+2 d) x⁴−1 e) x⁴+1 Skorzystam tutaj z patentu ktory pokazal mi kiedys jc np 1=−i²*1 =−i² to a) x²−i²= (x+i)(x−i) b) x²+4=x²−i²4=(x+2i)(x−2i) c) x²+2=x²−i²2=(x+i√2)(x−i√2) d) x⁴−1=(x²−1)(x²+1) =(x−1)(x+1)(x+i)(x−i) zostal przyklad e) z ktorym nie goge sobie poradzic gdzyz nawet jesli zapiszse ze i⁴=1 to i tak nie moge skorzystac ze wzoru x⁴+1⁴ bo mam n parzyste (n=4)

ICSP: (x² + i)(x² − i) https://matematykaszkolna.pl/forum/328895.html − w tym temacie masz rozłożony x² − i W identyczny sposób możesz rozłożyć x² + i

Benny: x⁴+1=(x²+1)²−2x²=(x²+1−√2x)(x²+1+√2x)=... Δ=−2

	√2−i√2
x1=
	2

	√2+i√2
x2=
	2

	−√2−i√2
x3=
	2

	−√2+i√2
x4=
	2

6latek: Witam i dziekuje

6latek: ICSP Tam mam z²−i ale to niewazne jakie bedzie oznaczenie Po prostu przyjmuje ze np x=a+bi i rozwiazuje to

ICSP: a co za różnica czy masz z czy x ? Musisz być niewrażliwy na zmianę oznaczeń. Daleko jeszcze masz do wzoru de Moivre'a ?

6latek: Jeszce ponad 10 zadan z tego dzialu (wiadomosci wstepne ) Potem biegunowy uklad wspolrzednych (tu kilka zadan Postac trygonometryczna (ze 30 zadan widze Potem potega i pierwiastek

ICSP: ok

6latek: x⁴+1= (x²+i)(x²−i) x²=i

	1		1
x=		+i		}
	√2		p2

	1		1
x=−		−i
	√2		√2

x²=−i

	1		1
x=−		+i
	√2		√2

	1		1
x=		−i
	√2		√2

	1		1		1		1
x4+1= (x−(		+i		)(x−(−		−i		)(x−(−U{1}{√2
	√2		√2		√2		√2

	1		1		1
}+i		)(x−(		−i		)
	√2		√2		√2

Po uporzadkowaniu dostaniemy

	1		1		1		1		1
x4+1= (x−		−i		)(x+		+i		)(x+		−iU{
	√2		√2		√2		√2		√2

	1		1
1}{√2})(x−		+i		)
	√2		√2

Mila: x⁴+1=x⁴−i²=(x²−i)*(x²+i)= =(x−√i)*(x+√i)*(x−√−i)*(x+√−i) i policzyć pierwiastki z: i oraz (−i)

6latek: Witam Nie ma teraz pokazanego jka policzyc pierwiastki z i oraz (−i) Z wczesniejszych wiadomosci wiem ze moge to policzyc z ewzoru

	|z|+a		|z|−a
ω=√		+sgn i√
	2		2

gdzie z=a+bi

Benny: Co to za wzór?

6latek: dla i to bedzie

	1		1
ω=√		+i√		bo b≥0
	2		2

dla (i) to bedzie

	1		1
ω=√		−i√		bo b<0
	2		2

6latek: Na pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej |z| to modul z liczby zespolonej z=a+bi

	|z|−a
natomiast jesli b≥0 to jest +i√
	2

	|z|−a
jesli b<0 to jest −i√
	2

6latek: Jesli CIe to intersuje to jutro Ci napiszse wyprowadzenie jego tylko mi przypomnij

Benny: Właśnie miałem o to pytać

jc: z² = a + bi z = x+iy x² + y² = √a²+b² (moduł lewej strony = moduł prawej strony) x² − y² = a (części rzeczywiste) 2xy = b (części urojone) Z dwóch pierwszych równań mamy x² = (√a²+b² + a)/2 y² = (√a²+b² − a)/2 Trzecie równanie mówi, że znak xy = znak b Stąd z = ± [ (√a²+b² + a)^1/2 + i znak(b) (√a²+b² − a)^1/2 ] / √2 To jest właśnie wzór 6latka.

Benny: Okej właśnie sobie myślałem nad tym i miałem podobnie Dzięki

6latek: Albo na mocy wzoru

	φ+2kπ		φ+2kπ
ωk=n√|z| (cos		=isin		) pierwiastkami kwadratowymi liczby z sa liczby
	2		2

ω₀=√|z|(cosφ/2+isinφ/2) ω₁=−ω₀ Rozpatrzmy 3 przypadki Ale zanim dalej to φ argument glownu i z=a+bi 1. b=0 a>0 wtedy mamy |z|=a i cosφ=0 wiec ω₀= √a ω−1=−√a 2. b=0 a<0 Wowczas |z|=−a oraz cosφ=π zatem ω₀=√−a(cosπ/2+isinπ/2)=i√−a ω₁=−i√−a 3.b≠0

	a		b
wobec cosφ=		sinφ=
	|z|		|z|

otrzymujemu

	φ		1+cosφ		|z|+a		φ		|z|−a
cos2		=		=		sin2		=
	2		2		2|z|		2		2|z|

Ale −π/2<φ/2<π/2 wiec cosφ/2>0 gdy b>0 wtedy 0<φ<π wobec czego sinφ/2>0 Jezeli zas b<0 to mamy sinφ/2 <0 Wobec tego

	|z|+a
cosφ/2=√
	2|z|

	|z|−a
oraz sinφ/2=ε√		i ε=1 jesli b>0 i ε=−1 jesli b<0
	2|z|

	|z|+a
Wtedy ω0= √		+ε√U{|z}−a{2}}i
	2

Literatura Janowski Kaczmarski Liczby i zmienne zespolone (1974r

6latek: Mialem to napisac rano ale slucham radia rock i ladnie spiewaja i graja

Metis:

6latek: A teraz dobranoc

Mila: √i liczysz z definicji pierwiastka kwadratowego √i=x+iy, gdzie x,y∊R⇔ (x+iy)²=i (x²−y²)+2xy=i⇔ x²−y²=0 i 2xy=1 dalej sam

6latek: Milu Ja juz to liczylem