Jawny wzór ciągu rekurencyjnego waw: a_n+4 − 5*a_n+3 + 9*a_n+2 − 7*a_n+1 + 2*a_n = 0 a₀ = 0 Wiem że jak mam ciąg który składa się tylko z 3 elementów to mogę go rozwiązać tak: https://matematykaszkolna.pl/forum/209586.html Czy w tym przypadku, również mogę tak zrobić, tylko zamiast równania kwadratowego będę musiał policzyć równanie wielomianowe? I wzór jawny to będą miejsca zerowe do n razy jakaś liczba?

waw: Wyszlo mi że pierwiastki to trzy 1 i jedno 2 czyli (x − 1)³*(x − 2). Ale nie wiem jak to podpasować pod wzór jawny ciągu.

jc: a_n = A + Bn +Cn² + D 2ⁿ

waw: Hmm okej ale jak wtedy wyliczyć z tego A, B, C i D. Jak podstawie sobie dane a₀ to mam 0 = A + B*0 + C*0 + D*2⁰ 0 = A + D −D = A Ale nie wiele mi to daje

jc: Nie wyliczysz! Mógłbyś to zrobić, gdybyś miał a₁, a₂, a₃.

waw: No to klops, to chyba jakiś błąd w zadaniu czy co. Znalazłem ten sam przykład w innym zbiorze zadań i było podane jeszcze a₁ = 1, ale to też chyba za mało.

jc: A jaka była treść zadania?

Mariusz: Nie lepiej skorzystać z funkcji tworzących wstawiasz je do równania i równanie samo się rozwiązuje Co gdy pierwiastki będą wielokrotne , albo równanie niejednorodne Wreszcie sposobem podanym przez jc nie znajdziesz wzoru na liczby Catalana Bella Wzór na liczby Bernoulliego może jakoś byś znalazł ale też wygodniej jest funkcją tworzącą Funkcja tworząca A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Przy wstawianiu do równania sumujesz od 4

jc: Mariusz, dodam jeszcze wzór na liczbę wielomianów nierozkładalnych stopnia n o współczynnikach w ciele Z_p, i wiele, wiele innych przykładów. Może potrafisz pokazać bez funkcji tworzących, że

	2k k		2m m
∑k+m=n				= 4n ?

Ja nie potrafię...