Planimetria Mia: W trójkącie równoramiennym ABC kąt C między ramionami trójkąta ma miarę 36. Dwusieczna kąta A przecina bok BC w punkcie D. Uzasadnij, że trójkąty ABC i ABD są podobne oraz wykaż, że cos72=(√5 − 1)/4.

irena_1:

	1800−α		1800−360		1440
β=		=		=		=720
	2		2		2

β=2α Trójkąty ABC i ABD mają kąty odpowiednio przystające, więc są podobne. Poza tym trójkąt ACD też jest równoramienny, czyli |CD|=a i c=b−a Z podobieństwa trójkątów ABC i ABD:

b−a		a
	=		(1)
a		b

b²−ab=a² a²+ab−b²=0 Δ=b²+4b²=5b² a>0

	−b+b√5		√5−1
a=		=		b (2)
	2		2

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD: a²=a²+(b−a)²−2a(b−a)cos72⁰ 2a(b−a)cos72⁰=(b−a)²

	b−a		a
cos720=		=		(z (1))
	2a		2b

	√5−12b		√5−1
cos720=		=		(z(2))
	2b		4

6latek: Dzien dobry A pomożesz w moim poscie https://matematykaszkolna.pl/forum/327013.html Będę wdzięczny

myszka: 2 część zadania można tak: P(ABC)= P(ABD)+ P(ADC)

	b2		a2		ab
P(ABC)=		*sin36o , P(ADB)=		*sin36o i P(ADC)=		*sin36o
	2		2		2

to a²+ab= b² a, b>0 a²+ab −b²=0 Δa=5b² , √Δ = √5b

	√5−1		a		√5−1
a=		*b to		=
	2		b		2

	a   2		1		a		√5−1
oraz cos72o=		=		*		=
	b		2		b		4

	√5−1
cos72o=
	4

c.n.w