lim Krzysiek: lim ⁿ√n! = n−>+∞

jc: 1/n→0, dlatego (1/n!)^1/n →0, a więc (n!)^1/n → ∞.

g: Czy to nie za szybki wniosek? Np. (1/n)^1/n→1

g: ln(ⁿ√n!) = 1/n ∑₁ⁿ ln(k) ≈ 1/n ∫₁ⁿ ln(x) dx ≈ 1/n n (ln(n)−1) ≈ ln(n) ⁿ√n! ≈ n ⇒ lim = ∞.

jc: a_n > 0, a_n →0 ⇒ (a₁ a₂ ... a_n)^1/n →0 (granica nie musi być zerem, ale dowód przeprowadzę dla zera). −−−−− Dowód. ε >0. a_k < ε dla k > m. p = a₁ a₂ ... a_m a₁ a₂ ... a_n ≤ p ε^n−k (a₁ a₂ ... a_n)^1/n ≤ (p ε^n−k)^1/n →ε A ponieważ ε jest dowolne (ale większe od 0), więc granica = 0.

jc: Jeszcze inne rozwiązanie a_n = (1+1/n)ⁿ ciąg rosnący zbieżny do e. a₁ a₂ ... a_n = nⁿ / n! a₁ a₂ ... a_n < eⁿ Dlatego nⁿ /n! < eⁿ, (n/e)ⁿ < n! , n/e < (n!)^1/n

g: Gdybym nie pominął −1 w ln(n)−1, to bym dostał podobnie: ⁿ√n! ≈ n/e. Twój dowód jest oczywiście lepszy, bo nie stosuje przybliżeń.

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/107225.html