Zadanie Godzio:

	an+1
Udowodnić, że jeżeli an > 0, limn→∞		= g to istnieje granica
	an

lim_n→∞ⁿ√a_n = g O to mój dowód, proszę o sprawdzenie:

	an+1
∀ε>0 ∃N∊ℕ ∀n≥N |		− g| < ε
	an

	an+1
g − ε <		< ε + g
	an

(g − ε)a_n < a_n+1 < (ε + g)a_n określam te ciągi rekurencyjnie i mam: (g − ε)^n−N+1a_N < ... < (g − ε)²a_n+1 < (g − ε)a_n < a_n+1 oraz a_n+1 < (ε + g)a_n < (ε + g)²a_n−1 < ... < (g + ε)^n−N+1a_N ⇒ (g − ε)^n−N+1a_N < a_n+1 < (g + ε)^n−N+1a_N /ⁿ√ (g − ε)ⁿ√(g − ε)^1−Na_N < ⁿ√a_n+1 < (g + ε)ⁿ√a_N(g + ε)^{1 − N} korzystając z faktu, że ε jest dowolnie mały oraz ⁿ√a → 1 przy a > 0 mam: \ (g − ε)ⁿ√(g − ε)^1−Na_N → g * 1 (g + ε)ⁿ√a_N(g + ε)^{1 − N} → g * 1 Z tw. o trzech ciągach ⁿ√a_n+1 także dąży do g, Taki dowód jest poprawny ?

Godzio: Określam ciągi rek. ... < (g − ε)²a_{n − 1}

Godzio: Podbijam

Godzio: Da radę ktoś

Mariusz: Myślę, że dobrze

Godzio: Podbijam

Eta: ok

AC: wprowadźmy ciąg b₁ =a₁

	an
bn =		dla n >1
	an−1

Wtedy z twierdzenia o granicy średnich geometrycznych tzn lim b_n =g ⇒ lim ⁿ√b₁*b₂*.....b_n = g dostajemy: lim ⁿ√a_n =g cbdo

Godzio: Takiego twierdzenia nawet nie znałem, ale skoro dowód mój jest ok, to raczej z Twojego rozwiązania nie skorzystam, aczkolwiek zapamiętam, dzięki

AC: OK! Tu masz link: http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_%C5%9Brednich