geometria dalej Benny: Napisać równanie płaszczyzny w której leżą proste: l₁: x=y=z l₂: 2x=y=−z v − wektor kierunkowy prostej l₁ u − wektor kierunkowy prostej l₂ v=[1, 1, 1]

	1
u=[		, 1, −1]
	2

czy vxu − wektor normalny prostej?

	−3		1
vxu=[−2,		,		]
	2		2

Czy zatem moja płaszczyzna będzie dana wzorem: −4x−3y+z=0?

Jerzy: Punkt : [1,1,1] należy do prostej l₁, a czy należy do Twojej płaszczyzny ?

Benny:

	−3		1
Błąd wektor ma współrzędne [−2,		,		] zatem równanie płaszczyzny: −4x+3y+z=0
	2		2

Jerzy: Ponawiam pytanie

Benny: Należy

Jerzy: −4*1 + 3*1 + 1 ≠ 0 ... nie należy, a musi v = [1,1,1] u = [1,2,−2] n = [−4,3,1] teraz masz wektor normalny płaszczyzny i punkt np. [1,1,1] ... i pisz równanie

Benny: Jerzy jesteś pewny, że jest źle?

Jerzy: −4(x−1) + 3(y−1) + 1(z−1) = 0

Jerzy: OK .... poprawiłeś .... 17:13 daje wynik: −4x + 3y + z = 0

Benny: Nadal upieram się że mam dobrze

Benny:

Benny:

	x−x0		y−y0		z−z0
Ogólnie równanie prostej wygląda tak:		=		=		i w tym wypadku
	a		b		c

P=(0, 0, 0) czy się mylę?

Jerzy: Ni rozumiem pytania wektor kierunkowy tej prostej: v = [a,b,c] i przechodzi przez punkt [x₀,y₀,z₀]

Benny: Tak, a punkt [x₀, y₀, z₀]=[0, 0, 0] w danej prostej l₁, tak?

Jerzy: Tak

Mila: v=[1,1,1]

	1
u=[		,1,−1] || [1,2,−2]
	2

[1,1,1] x [1,2,−2]=[−4,3,1] || [4,−3,−1] (0,0,0)∊π π: 4x−3y−z=0 ==========

Benny:

Jerzy: Wektor się odwrócił, ale płaszczyzna została

Jerzy: −4x + 3y + z = 4x −3y −z

Jerzy: nie to chciałem napisać −4x + 3y + z = 0 ⇔ 4x − 3y − z = 0

Benny: Znaleźć rzut punktu A=(1, −2, 1) na płaszczyznę π: x+2y+z+4=0. Punkt ten będzie punktem przecięcia prostopadłej do płaszczyzny przechodzącej przez punkt A.

	x−1		y+2		z−1
Prostą może zapisać równaniem		=		=
	1		2		1

Zapisujemy y oraz z za pomocą iksa i podstawiamy do równania płaszczyzny i szukamy punktu przecięcia. Dobrze?

prosta: dobrze, albo zapisujemy x,y,z za pomocą t i podstawiamy do równania płaszczyzny

Benny: Znaleźć rzut punktu A=(3, 2, 0) na prostą l: x=−1+t, y=−8−t, z=2+2t. Wektor kierunkowy prostej v=[1, −1, 2] jest wektorem normalnym płaszczyzny π, która przechodzi przez punkt A. π:(x−3)−(y−2)+2z=0 π:x−y+2z−1=0 Czy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną to będzie rzut?

jc: Tak, to będzie rzut prostokatny

JR: Błagam pomoże ktoś z tym, chociaż wskazówka jakaś by się przydała https://matematykaszkolna.pl/forum/326751.html

Mila: A=(1, −2, 1) π: x+2y+z+4=0 l: x=1+t y=−2+2t z=1+t, t∊R 1+t+2*(−2+2t)+1+t+4=0 1+t−4+4t+t+1+4=0 6t=−2

	1
t=−
	3

	1		2
x=1−		=
	3		3

	2
y=−2−
	3

	2
z=
	3

	2		8		2
A'=(		,−		,		)
	3		3		3

Benny: Tak samo mi wyszło, dziękuje

prosta: Znaleźć rzut punktu A=(3, 2, 0) na prostą l: x=−1+t, y=−8−t, z=2+2t. Wektor kierunkowy prostej v=[1, −1, 2] jest wektorem normalnym płaszczyzny π, która przechodzi przez punkt A. π:(x−3)−(y−2)+2z=0 π:x−y+2z−1=0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− albo trochę inny opis: A'=(x,y,z) to szukany rzut punktu A wektor AA'=[x−3,y−2,z] jest prostopadły do wektora v=[1,−1,2] stąd iloczyn skalarny tych wektorów jest równy 0: (x−3)−(y−2)+2z=0 x−y+2z+1=0 i x=−1+t, y=−8−t, z=2+2t (−1+t)−(−8−t)+2(2+2t)+1=0 6t+12=0 t=−2 A'=(−3,−6,−2)

prosta: Znaleźć rzut punktu A=(3, 2, 0) na prostą l: x=−1+t, y=−8−t, z=2+2t. Wektor kierunkowy prostej v=[1, −1, 2] jest wektorem normalnym płaszczyzny π, która przechodzi przez punkt A. π:(x−3)−(y−2)+2z=0 π:x−y+2z−1=0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− albo trochę inny opis: A'=(x,y,z) to szukany rzut punktu A wektor AA'=[x−3,y−2,z] jest prostopadły do wektora v=[1,−1,2] stąd iloczyn skalarny tych wektorów jest równy 0: (x−3)−(y−2)+2z=0 x−y+2z+1=0 i x=−1+t, y=−8−t, z=2+2t (−1+t)−(−8−t)+2(2+2t)+1=0 6t+12=0 t=−2 A'=(−3,−6,−2)

Benny: Dzięki

Benny: Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A=(1, −1, 0) i prostopadłej do płaszczyzny, w której leżą proste: l₁: x=2−2t, y=1−t, z=t

	⎧	x−6y−6z+2=0
l2:	⎩	2x+2y+9z−1=0

	1		−3		5
Najpierw wyznaczam prostą l2: x=−3t+		, y=		t+		, z=t
	7		2		14

	3		1
Wyznaczam wektor normalny płaszczyzny [−2, −1, 1]x[−3, −		, 1]=[		, −1, 0] zatem
	2		2

prosta prostopadła to płaszczyzny ma równanie:

	1
l3: x=		t+1, y=−t−1, z=0
	2

Ok?

Jerzy: Jeśli nie ma błędów rachunkowych, to tok postępowania jest OK

Benny:

jc: A może tak: Szukana prosta będzie równoległa do płaszczyny rozpiętej przez wektory normalne płaszczyzn z definicji l₂: (1,−6,−6), (2,2,9) (dlaczego?) Poza tym będzie prostopadła do wektora (−2, −1,1). (1,−6,−6)(−2, −1,1) = −2, (2,2,9)(−2, −1,1) = 3 (to jedyny rachunek w rozwiązaniu) Szukana prosta ma kierunek: 3(1,−6,−6) + 2(2,2,9) = (7, −14, 0) || (1,−2, 0) A więc x = 1+t, y = −1 − 2t, z = 0.

Benny: Podoba mi się