Rownanie stopnia trzeciego Oliwia : Udowodnij ze równanie x³+3x+2=0 a) nie ma pierwiastka całkowitego

	p
b) nie ma pierwiastka w postaci ulamnka nieskracalnego
	q

dalszy podpunkt napiszse później jak zrobie te dwa W a) to według mnie należy sprawdzic dzielniki wyrazu wolnego W(1)≠0 W(−1)≠0 W(2)≠0 W(−2)≠0 W b) to nie bardzo wiem bo czy p=3? i q=2 ? Czy należy jakos skorzystać z tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu ?

ICSP: ponieważ wielomian jest unormowany to wszystkie jego pierwiastki wymierne są liczbami całkowitymi. Skoro nie ma pierwiastka będącego liczba całkowitą to nie ma również wymiernego.

Oliwia : dziekuje następny podpunkt c) Wprowadz niewiadome pomocnicze u i v spelniajace warunki {x=u+v {u*v=−1 POdsatw x=u+v do równania wyjściowego c₁) Rozwiaz układ rownan ze zmiennymi u i v c₂) Oblicz niewymierny pierwiastek równania x³+3x+2=0 (u+v)³+3(u+v)+2=0 u³+3u²v+3uv²+v³ +3u+3v+2=0 Dalej nie bardzo wiem jak postapic

ICSP: poczytaj o wzorach Cardano.

Oliwia : ICSP To jest zadanie z 2 klasy liceum i nie ma jeszcze wzorow Cardano Musi być jakiś inny sposób . Oznaczone jest jako trudne

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html − post Vax'a

6latek : Podlacze się pod to zadanie

6latek : A może zrobić cos takiego u³+v³+3u*v(u+v)+3(u+v)+2=0 u³+v³−3(u+v)+3(u+v)+2=0 u³+v³+2=0 ale dalej nie wiem co

ICSP: Vax jasno napisał : x³ + 3x + 2 = 0 x = u + v u³+v³+(u+v)(3uv+3) + 2 = 0 co zajdzie np gdy : u³ + v³ + 2 = 0 3uv + 3 = 0 u³ + v³ = − 2 uv = −1 u³ + v³ = − 2 u³v³ = − 1 Są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³, więc : x = ³√u³ + ³√v³ = ³√z₁ + ³√z₂ gdzie liczby z₁ oraz z₂ są rozwiazaniami równania kwadratowego: z² + 2z − 1 = 0

6latek : dziekuje CI na razie Pozniej ewentualnie dopytam

Mariusz: 6latek jakiś czas temu pisałem z Vaxem na ten temat Przeczytałem text z Sierpińskiego , przeanalizowałem go i mu przedstawiłem (razem ze sposobem na równanie czwartego stopnia) Gdy mamy równanie u³+v³+(u+v)(3uv+3)+2=0 to nie przyrównujemy u+v do zera bo wcześniej założyliśmy że u+v=x Gdy już znajdziemy parę (u,v) spełniającą układ równań u³+v³=−2 uv=−1 to pozostałe pary możemy znaleźć używając pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki e^2/3ikπ k=0,1,2 Jeżeli nie chcemy używać zespolonych to powinniśmy użyć trygonometrii w przypadku gdy wyróżnik naszego równania kwadratowego jest ujemny a do sprawdzenia pozostałych pierwiastków korzystamy z dzielenia przez dwumian

6latek : Czesc Mariusz W sumie to chciałem zebys się odezwal w tym temacie. Teraz mysle jako licealista z 2 klasy Czyli dostaliśmy taki układ rownan do rozwiązania {u³+v³=−2 {u*v=−1 Nie mam w książce do klasy 2 takiego podobnego przykładu rozwiązanego Skad mam wiedzieć ze to będą wzory Vieta dla jakiegoś rozwiązującego równania kwadratowego ? z²+2z−1 =0 Skad takie a nie inne równanie kwadratowe to wiem

Mariusz: No musisz jeszcze podnieść drugie równanie obustronnie do trzeciej potęgi (to powinno dać pierwiastki obce więc musisz wybrać tylko te które spełniają oryginalny układ równań) Najłatwiej z porównania postaci ogólnej i iloczynowej

6latek : czyli to równanie (uv)³=−1³ u³*v³=−1 Chciałbym zebys dokonczyl ze mna ten przykład

Mariusz: i mamy układ równań u³+v³=−2 u³v³=−1 Teraz zapisujemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej i iloczynowej ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂) Po wymnożeniu nawiasów i porównaniu współczynników dostaniemy układ równań przy czym każde równanie będzie wzorem Viete Porównujemy układy równań u³+v³=−2 u³v³=−1 oraz ten który otrzymujemy po porównaniu postaci ogólnej i wielomianowej

6latek : Możesz napisac dalej jak to zrobić mam to równanie z²+2z−1= (z−z₁)(z−z₂)

6latek : Potrzebuje mieć rozwiązany jeden przykład wtedy zaczaję

Mila: x³+3x+2=0 x=u+v u*v=−1 (u+v)³+3*(u+v)+2=0 u³+3*u²*v+3*u*v²+3*(u+v)+v³+2=0 u³+3*uv*(u+v)+3*(u+v)+v³+2=0 u³−3(u+v)+3(u+v)+v³+2=0 u³+v³+2=0 u³+v³=−2 u³*v³=−1 u³,v³ są rozwiązaniami równania kwadratowego z²+bz+c=0 gdzie b=2 i c=−1 z²+2z−1=0 Δ=8

	−2−2√2		−2+2√2
z1=		lub z2=
	2		2

z₁=u³=−1−√2 z₂=v³=−1+√2 u=³√−1−√2 lub v=³√−1+√2 x=−³√1+√2 +³√−1+√2

6latek : Milu dziekuje Ci Miałem tak samo to równanie z²+2z−1=0 rozwizane ale zmylila mnie odpowiedz w książce x=³√1+2√2+³√√2−1 Nie było tam tego (−) i myslaem ze ma obcy pierwiastek

Mila: Być może mam pomyłkę w obliczeniach.

Mila: Ciekawe co w odpowiedzi ma Oliwia.

jc: Mila, masz dobrą odpowiedź

jc: Odpowiedź w książce nie może być dobra: suma liczb dodatnich nie da zera.

6latek : Oliwia ma ta sama ksiazke tylko starsze wydanie I w tym wydaniu z 1987r jest ten (−)

6latek :