Nierownosc Schwarza
6latek : Pewnie już pozno no ale co tam
Udowodnij nierownosc Schwarza
a) dla dowolnych rzeczywistych
(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22)
b) Dla dowolnych rzeczywistych a1 b1 a2 b2 a3 b3
(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)
Wskazowka : Uporzadkuj wielomiany i oprzyj się na wzorze na kwadrat sumy
a) dwóch wyrazen
b) trzech wyrazen
dla a)
(a12b12+2a1b1a2b2+a22b22≤ a12b12+a12b22 +a22b12+a22b22
A teraz co dalej zrobić ?
20 maj 23:22
6latek : Jak to przyrownam do zera to dostane
2a1b1a2b2−a12b22−a22b12≤0
Ale i tak nie bardzo wem co dalej
20 maj 23:28
Metis: Z takimi oznaczeniami trudno coś zauważyć
Wprowadź sobie Krzyśku a,b,c,d − dla przejrzystości
20 maj 23:29
jc: Spójrz tutaj.
https://matematykaszkolna.pl/forum/326060.html
(ac+bd)
2 ≤ (ac+bd)
2 + (ad−bc)
2 = (a
2+b
2)(c
2+d
2)
(ax+by+cz)
2 ≤
(ax+by+cz)
2 + (bz−cy)
2 + (cx−az)
2 + (ay−bx)
2 = (a
2+b
2+c
2)(x
2+y
2+z
2)
−−−−−−
Klsyczny dowód jest zupełnie prosty:
u, v − dwa wektory. Jeśli v = 0, to jest łatwo. Załóżmy więc, że v ≠ 0.
0 ≤ (u − t v)
2 = u
2 − 2 t uov + t
2 v
2
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości nieujemne, jeśli Δ ≤ 0.
Napisz jawnie tą nierówność, a uzyskasz wynik.
20 maj 23:34
6latek : Czesc
Takie sobie zażyczyli w zadaniu
Sprobuje to zrobić tak jak proponujesz
dla a)
a
2*b
2+2a*b*c*d+c
2d
2≤a
2*b
2+a
2d
2+c
2b
2+c
2d
2
Jeśli to przyrownam do zera to dostane
2abcd−a
2d
2−c
2b
2≤0
20 maj 23:36
jc: czyli ... (wzór skróconego mnożenia).
20 maj 23:40
Metis: ... i dokończ
20 maj 23:41
6latek : Witaj
Musze chwile pomyslec
20 maj 23:43
6latek : −(ad−cb)2≤0
Tylko ze oni chcieli na kwadrat sumy a my mamy na kwadrat różnicy
20 maj 23:46
Metis: Myślę, że jest
. Tam nie ma prawa wyjść suma, przekształcamy równoważnie i otrzymujemy
kwadrat różnicy
20 maj 23:51
6latek : Teraz trzeba byłoby wstawić jakiś komentarz
Dla a=b=c=d=0 zachodzi rownosc
A jak zapisac ze ta nierownosc jest prawdziwa
20 maj 23:53
Mila:
cd.
badasz różnicę:
(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22) po wykonaniu działań
i po przeniesieniu na lewą stronę, redukcji:
2a1b1a2b2−a12b22−a22b12=
=−(a12b22−2a1b1a2b2+a22b12)=
=−(a1b2−a2b1)2≤0
20 maj 23:56
Metis: Warto dodać
Formalnie można "złapać" to tak:
⋀ (ad−cb)
2≥0
a,b,c,d∊R
20 maj 23:57
6latek : Dobry wieczor
Milu
Tylko jak to zapisac ze ta koncowa nierownosc jest prawdziwa (bo jest
gdyż kwadrat roznicy jest liczba dodatnia ale przed nim stoi (−) wiec ta nierownosc jest
przwdziwa
Tylko jak to napisac ?
20 maj 23:59
6latek : Może inaczej kwadrat roznicy jest liczba nieujemna .
21 maj 00:02
6latek : No chyba ze tutaj nie trzeba pisać zadnego komentarza
21 maj 00:02
6latek : Jutro już postaram się zrobić podpunkt b)
Bo będzie więcej liczenia
21 maj 00:04
Metis: −(ad−cb)
2≤0 * (−1)
(ad−cb)
2≥0
I z tej postaci ładnie zapisać kwantyfikatorem, tak myślę
21 maj 00:07
Mila:
Nic nie piszesz.
Jeśli konieczne chcesz, to możesz napisać to co podał Metis i koniec.
21 maj 00:09
6latek : Czyli tak jak zapisales w poscie 23:57 .
Dobrze .
21 maj 00:09
Mila:
Dobranoc
21 maj 00:10
jc: A ja bym napisał tak, jak napisałem:
(ac+bd)2 ≤ (ac+bd)2 + (ad−bc)2 = (a2+b2)(c2+d2)
To samo, a nie wymaga słowa komentarza.
21 maj 00:13
6latek : Tez to sobie zapisze
dziekuje
21 maj 00:16
Metis:
21 maj 00:16
6latek : Milu
Jutro do pracy nie ide gdyż w tym tygodniu miałem druga zmiane
Wiec sobie jeszcze trochę posiedze na forum
Dobranoc
21 maj 00:20